Uma partícula se move em linha reta do ponto A=(1,1,2) até o ponto B= ( 5,4,2 ). Durante este movimento, uma força constante, representada pelo vetor \vec{F}=(10,5,-3), atua sobre a partícula. Calcule o vetor deslocamento, o trabalho realizado pela força e a componente vetorial da força na direção do deslocamento.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula vai de A=(1,1,2) até B=(5,4,2) sob ação de uma força constante \vec{F}=(10,5,-3).
Conteúdo:
  • Definição de vetor deslocamento \vec{d}=\overrightarrow{AB}.
  • Trabalho de força constante como produto escalar W=\vec{F}\cdot\vec{d}.
  • Componente vetorial (projeção) de \vec{F} na direção de \vec{d}.

Passo 2

Calcular o vetor deslocamento
\vec{d}=\overrightarrow{AB}=\bigl(5-1,\;4-1,\;2-2\bigr)=(4,3,0).

Passo 3

Calcular o trabalho realizado pela força, que é o produto escalar de \vec{F} por \vec{d}:
W=\vec{F}\cdot\vec{d}=10\cdot4+5\cdot3+(-3)\cdot0=40+15+0=55.

Passo 4

Encontrar a componente vetorial de \vec{F} na direção de \vec{d}, ou seja, a projeção de \vec{F} sobre \vec{d}:
\mathrm{proj}_{\vec{d}}\vec{F} =\frac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{\|\vec{d}\|^{2}}\;\vec{d} \quad\text{com}\quad \|\vec{d}\|^{2}=4^{2}+3^{2}+0^{2}=25.
Logo,
\mathrm{proj}_{\vec{d}}\vec{F} =\frac{55}{25}\,(4,3,0) =\Bigl(\tfrac{44}{5},\,\tfrac{33}{5},\,0\Bigr).

Resposta

Deslocamento: \,(4,3,0)
Trabalho: \,55
Componente de \vec{F} em \vec{d}: \,\bigl(\tfrac{44}{5},\tfrac{33}{5},0\bigr)

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