Resolva as equações diferenciais
2 x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+(1+x) y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x^{2}y'' - x y' + (1+x)y = 0
Este é um caso de equação linear de segunda ordem com ponto singular em x=0. Vamos usar o método de Frobenius, ou seja, buscar soluções da forma
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,x^{n+r},
onde a_0\neq0 e r é o expoente indicial.

Passo 2

Substituindo
y = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+r},\quad y' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)\,a_{n}x^{n+r-1},\quad y'' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)\,a_{n}x^{n+r-2},
na equação e coletando potências de x^{n+r}, obtemos o coeficiente geral
2(n+r)(n+r-1)- (n+r) + 1
multiplicando a_n, mais um termo de deslocamento envolvendo a_{n-1}. O termo de ordem mínima (indicial) vem de n=0:
2r(r-1) - r + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; 2r^2 - 3r +1 = 0 \;\Longrightarrow\; r = 1 \quad\text{ou}\quad r = \tfrac12.

Passo 3

Para n\ge1 a relação de recorrência é
\bigl[\,2(n+r)^2 - 3(n+r) +1\bigr]\,a_n + a_{n-1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_n = -\frac{a_{n-1}}{2(n+r)^2 - 3(n+r) +1}.

Passo 4

Solução associada a r=1. Então
2(n+1)^2 - 3(n+1) +1 = 2n^2 + n = n(2n+1),
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a_n = -\frac{a_{n-1}}{n(2n+1)}, \qquad a_0\neq0.
Escolhendo a_0=1, os primeiros coeficientes são
a_1 = -\tfrac1{1\cdot3}, \quad a_2 = \tfrac1{3}\,\tfrac1{2\cdot5} = \tfrac1{30}, \;\dots
Fica
y_1(x)=x\Bigl(1 - \tfrac{x}{3} + \tfrac{x^2}{30} - \cdots\Bigr).

Passo 5

Solução associada a r=\tfrac12. Aqui
2\bigl(n+\tfrac12\bigr)^2 - 3\bigl(n+\tfrac12\bigr) +1 = n(2n-1),
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a_n = -\frac{a_{n-1}}{n(2n-1)}, \qquad a_0\neq0.
Escolhendo a_0=1, obtemos
a_1 = -\tfrac1{1\cdot1}, \quad a_2 = \tfrac1{1}\,\tfrac1{2\cdot3} = \tfrac1{6}, \;\dots
e
y_2(x)=x^{1/2}\Bigl(1 - x + \tfrac{x^2}{6} - \cdots\Bigr).

Passo 6

Como as raízes r_1=1 e r_2=\tfrac12 diferem por meio inteiro não inteiro, as duas séries acima são linearmente independentes. A solução geral é
y(x) = C_1\,y_1(x) \;+\; C_2\,y_2(x).

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_{1}\,x\Bigl(1 - \tfrac{x}{3} + \tfrac{x^2}{30} - \cdots\Bigr) \;+\; C_{2}\,x^{1/2}\Bigl(1 - x + \tfrac{x^2}{6} - \cdots\Bigr).

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