Resolva as equações diferenciais
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Este é um caso de equação linear de segunda ordem com ponto singular em
. Vamos usar o método de Frobenius, ou seja, buscar soluções da forma
onde
e
é o expoente indicial.
Passo 2
Substituindo
na equação e coletando potências de
, obtemos o coeficiente geral
multiplicando
, mais um termo de deslocamento envolvendo
. O termo de ordem mínima (indicial) vem de
:
Passo 3
Para
a relação de recorrência é
Passo 4
Solução associada a
. Então
logo
Escolhendo
, os primeiros coeficientes são
Fica
Passo 5
Solução associada a
. Aqui
logo
Escolhendo
, obtemos
e
Passo 6
Como as raízes
e
diferem por meio inteiro não inteiro, as duas séries acima são linearmente independentes. A solução geral é
Resposta
A solução geral é