Q 12.0 pontos] (5) Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o sólido deli z=0 e pela semiesfera z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
\iint_{E} \int \frac{z{2}}{x{2}+y{2}+z{2}} d V
Fórmulas Úteis
x=r \cdot \cos (\theta)
y=r \cdot \operatorname{sen}(\theta)
x^{2}+y^{2}=r^{2}
d A=r d r d \theta
x=r \cdot \cos (\theta)
y=r \cdot \operatorname{sen}(\theta)
z=z
x^{2}+y^{2}=r^{2}
d V=r d z d r d \theta
*Coordenadas Esféricas :

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E} \frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV
onde E é o sólido limitado por z=0 e pela semiesfera z=\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}}.
Esse é um clássico uso de coordenadas esféricas, pois E é metade da esfera de raio 2. Em coordenadas esféricas usaremos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
com \rho\in[0,2], \varphi\in[0,\pi/2] (meia esfera superior) e \theta\in[0,2\pi].

Passo 2

Em esféricas temos
x^2+y^2+z^2 = \rho^2, \quad z^2 = (\rho\cos\varphi)^2 = \rho^2\cos^2\varphi, \quad dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Logo o integrando fica
\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}\,dV = \frac{\rho^2\cos^2\varphi}{\rho^2}\,\bigl(\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\bigr) = \rho^2\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

A integral tripla separa-se em produto de três integrais:
\int_{\theta=0}^{2\pi}d\theta \;\times\; \int_{\rho=0}^{2}\rho^2\,d\rho \;\times\; \int_{\varphi=0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 4

Calculamos cada parte:
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
  2. \displaystyle \int_{0}^{2}\rho^2\,d\rho = \Bigl[\tfrac{\rho^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \tfrac{8}{3}.
  3. Para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi, faça u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi/2, u=0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{u=1}^{0}u^2(-du) = \int_{0}^{1}u^2\,du = \Bigl[\tfrac{u^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.
Multiplicando tudo:
2\pi \times \frac{8}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{16\pi}{9}.

Resposta

\frac{16\pi}{9}

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