Q 12.0 pontos] (5) Calcule a integral tripla abaixo, onde
é o sólido deli
e pela semiesfera
.
\iint_{E} \int \frac{z{2}}{x{2}+y{2}+z{2}} d V
Fórmulas Úteis
*Coordenadas Esféricas :
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o sólido limitado por
e pela semiesfera
.
Esse é um clássico uso de coordenadas esféricas, pois é metade da esfera de raio
. Em coordenadas esféricas usaremos
Esse é um clássico uso de coordenadas esféricas, pois
com
,
(meia esfera superior) e
.
Passo 2
Em esféricas temos
Logo o integrando fica
Passo 3
A integral tripla separa-se em produto de três integrais:
Passo 4
Calculamos cada parte:
-
-
- Para
, faça , . Quando , ; quando , . Assim
Multiplicando tudo: