Dados os vetores \vec{u}=(1,0,-2) e \vec{v}=(-2,1,0), determine o produto vetorial de \vec{u} por \vec{v}(\vec{u} \wedge \vec{v})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,0,-2) e \vec{v}=(-2,1,0) e pede para determinar o produto vetorial \vec{u}\wedge\vec{v}.
Informações fornecidas:
\vec{u}=(1,0,-2),\qquad \vec{v}=(-2,1,0).
Pergunta: calcular \vec{u}\wedge\vec{v} (o vetor resultante do produto vetorial).

Passo 2

O que é o produto vetorial e como calculamos? Vou explicar de forma prática. Para dois vetores em \mathbb{R}^3,
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
o produto vetorial \vec{u}\wedge\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos e é dado por uma fórmula componente a componente. Uma maneira compacta de lembrar é usar o determinante com os versores:
\vec{u}\wedge\vec{v}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Ao expandir esse determinante obtemos a fórmula componente a componente:
\vec{u}\wedge\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Aqui cada u_i e v_i é a i-ésima componente dos vetores \vec{u} e \vec{v}. Vou aplicar exatamente essa fórmula passo a passo. Estamos juntos — eu explico cada conta.

Passo 3

Calcular a primeira componente (coordenada x):
\text{primeira componente} = u_2v_3 - u_3v_2.
Usando \vec{u}=(1,0,-2) e \vec{v}=(-2,1,0) temos u_2=0, u_3=-2, v_2=1, v_3=0. Substituindo:
u_2v_3 - u_3v_2 = 0\cdot 0 - (-2)\cdot 1 = 0 - (-2) = 2.

Passo 4

Calcular a segunda componente (coordenada y):
\text{segunda componente} = u_3v_1 - u_1v_3.
Aqui u_3=-2, v_1=-2, u_1=1, v_3=0. Substituindo:
u_3v_1 - u_1v_3 = (-2)\cdot(-2) - 1\cdot 0 = 4 - 0 = 4.
Observação didática: apesar de no determinante a componente com \mathbf{j} ter sinal negativo quando se expande, a forma final escrita como u_3v_1-u_1v_3 já incorpora esse sinal. Por isso basta aplicar a fórmula diretamente.

Passo 5

Calcular a terceira componente (coordenada z):
\text{terceira componente} = u_1v_2 - u_2v_1.
Com u_1=1, v_2=1, u_2=0, v_1=-2, obtemos:
u_1v_2 - u_2v_1 = 1\cdot 1 - 0\cdot(-2) = 1 - 0 = 1.

Passo 6

Agora juntamos as três componentes calculadas. Assim
\vec{u}\wedge\vec{v} = (2,\,4,\,1).

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): o produto vetorial deve ser ortogonal a \vec{u} e \vec{v}. Verifico os produtos escalares:
\vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) = (1)\cdot 2 + (0)\cdot 4 + (-2)\cdot 1 = 2 + 0 -2 = 0,
\vec{v}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) = (-2)\cdot 2 + (1)\cdot 4 + (0)\cdot 1 = -4 + 4 + 0 = 0.
Como ambos são zero, (2,4,1) é perpendicular a \vec{u} e \vec{v}, o que confirma que o cálculo faz sentido.

Resposta

\vec{u}\wedge\vec{v}=(2,4,1)

Exercícios relacionados