Dados os vetores \vec{u}=(1,3), \vec{v}=(2,1), determine o vetor \vec{w} de modo que 4(\vec{u}-\vec{v})= 2 \vec{u}-3 \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(1,3) e \vec v=(2,1) e pede um vetor \vec w tal que
4(\vec u - \vec v) \;=\; 2\vec u - 3\vec w.
O conteúdo envolve subtração de vetores, multiplicação por escalar e resolução de equação vetorial por comparação componente a componente.

Passo 2

Calcular \vec u - \vec v e em seguida escalar por 4:
\vec u - \vec v = (1-2,\;3-1)=(-1,2),
4(\vec u - \vec v)=4\cdot(-1,2)=(-4,8).

Passo 3

Escrever o lado direito 2\vec u - 3\vec w em forma de vetor:
2\vec u = 2\,(1,3)=(2,6),
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2\vec u - 3\vec w = (2,6) - 3\vec w.

Passo 4

Igualar os dois lados e isolar 3\vec w:
(-4,8) \;=\; (2,6) - 3\vec w \quad\Longrightarrow\quad 3\vec w = (2,6) - (-4,8) = (6,-2).

Passo 5

Dividir por 3 para obter \vec w:
\vec w = \Bigl(\frac{6}{3},\;-\frac{2}{3}\Bigr) = \bigl(2,\,-\tfrac{2}{3}\bigr).

Resposta

\vec w = \bigl(2,\,-\tfrac{2}{3}\bigr)

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