Encontre dois produtos escalares e um produto matricial de:
\left[\begin{array}{lll} 1 & -2 & 7 \end{array}\right]\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ 7 \end{array}\right] \text { e }\left[\begin{array}{lll} 1 & -2 & 7 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 5 \\\\ 1 \end{array}\right] \text { e }\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ 7 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 3 & 5 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede dois produtos escalares e um produto matricial envolvendo os vetores \bigl[1\;,-2\;,7\bigr], \bigl[1\;,-2\;,7\bigr]^{T} e \bigl[3\; ,5\; ,1\bigr]^{T}.
Para o produto escalar usamos a definição
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i}u_{i}v_{i},
e para o produto matricial de uma matriz A de ordem m\times n por B de ordem n\times p usamos
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}.

Passo 2

Calculamos o primeiro produto escalar
\bigl[1,-2,7\bigr]\cdot\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ 7\end{bmatrix} =1\cdot1+(-2)\cdot(-2)+7\cdot7 =1+4+49 =54.

Passo 3

Calculamos o segundo produto escalar
\bigl[1,-2,7\bigr]\cdot\begin{bmatrix}3\\\ 5\\\ 1\end{bmatrix} =1\cdot3+(-2)\cdot5+7\cdot1 =3-10+7 =0.

Passo 4

Calculamos o produto matricial
\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3&5&1\end{bmatrix},
que resulta numa matriz 3\times3 cujos elementos são a_{ij}=(\text{componente }i\text{ do primeiro vetor})\times(\text{componente }j\text{ do segundo vetor}). Assim,
\begin{pmatrix} 1\cdot3 & 1\cdot5 & 1\cdot1\\\ (-2)\cdot3 & (-2)\cdot5 & (-2)\cdot1\\\\ 7\cdot3 & 7\cdot5 & 7\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1\\\\ -6 & -10 & -2\\\\ 21 & 35 & 7 \end{pmatrix}.

Resposta

a) 54
b) 0
c)
\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1\\\\ -6 & -10 & -2\\\\ 21 & 35 & 7 \end{pmatrix}

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