Se uma matriz A m por n multiplicar um vetor x de dimensão n, quantas multiplicações distintas estarăo envolvidas? E, se A multiplicar uma matriz B, n por p ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A de dimensão m\times n e pede duas coisas:
  1. Quantas multiplicações escalares são necessárias para calcular Ax, onde x\in\mathbb{R}^n.
  2. Quantas multiplicações escalares são necessárias para calcular AB, onde B\in\mathbb{R}^{n\times p}.
    O conteúdo aqui é a definição de multiplicação de matrizes e vetores, que se baseia em produtos internos.

Passo 2

Para o produto Ax, escrevemos cada componente como
(Ax)_i \;=\;\sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,x_j.
Cada soma \sum_{j=1}^{n}A_{ij}x_j requer exatamente n multiplicações escalares. Como i varia de 1 a m, temos no total
m\;\times\;n
multiplicações.

Passo 3

Para o produto AB com A\in\mathbb{R}^{m\times n} e B\in\mathbb{R}^{n\times p}, cada entrada (AB)_{ik} é
(AB)_{ik} \;=\;\sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,B_{jk}.
Cada uma dessas somas exige n multiplicações, e há m escolhas de i e p escolhas de k, totalizando
m \;\times\; p \;\times\; n
multiplicações.

Resposta

Para Ax: m\,n multiplicações.
Para AB: m\,n\,p multiplicações.

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