1. (2,0 pontos) Sendo u=(0,-2,2,0) e v=(0,1,-1,1), mostre que \{u, v\} é um subconjunto LI do espaço \mathbb{R}^{4} e determine uma base de \mathbb{R}^{4} que contém u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u = (0,-2,2,0),\quad v = (0,1,-1,1)
no espaço \mathbb{R}^4 e pede: (i) provar que \{u,v\} é LI e (ii) estender esse conjunto a uma base de \mathbb{R}^4. Vamos usar definição de independência linear e o método de acrescentar vetores fora do span para formar uma base.

Passo 2

Para ver que \{u,v\}\) é LI, consideramos a combinação linear nula \[a\,u + b\,v = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} 0\,a + 0\,b = 0,\\\\ -2\,a + 1\,b = 0,\\\\ 2\,a - 1\,b = 0,\\\\ 0\,a + 1\,b = 0. \end{cases}
Da última equação vem b=0\]. Substituindo em \(-2a+b=0 -2a=0, ou seja a=0. Logo a única solução é a=b=0, e \{u,v\} é LI.

Passo 3

Para estender \{u,v\} a uma base de \mathbb{R}^4 precisamos de mais dois vetores que não estejam no span \{u,v\}. Note que todo vetor em span \{u,v\} tem primeira coordenada zero, pois u_1=v_1=0. Assim, o vetor
e_1 = (1,0,0,0)
não pode ser escrito como combinação de u e v. Portanto \{u,v,e_1\} é LI em \mathbb{R}^4.

Passo 4

Falta mais um vetor para completar quatro vetores. Tomemos
e_3 = (0,0,1,0).
Para ver que e_3\not\in\mathrm{span}\{u,v,e_1\}, suponha
a\,u + b\,v + c\,e_1 = e_3.
Na primeira coordenada isso força c=0, e resta a\,u + b\,v = e_3. Mas tal sistema leva a contradição, pois das segundas e terceiras coordenadas viria b=2a e 2a-b=1\Rightarrow0=1. Logo não há solução, e \{u,v,e_1,e_3\} é LI e tem 4 vetores, ou seja é base de \mathbb{R}^4.

Resposta

Uma base de \mathbb{R}^4 que contém u e v é, por exemplo,
\bigl\{\,u,\;v,\;e_1,\;e_3\bigr\} = \bigl\{(0,-2,2,0),\;(0,1,-1,1),\;(1,0,0,0),\;(0,0,1,0)\bigr\}.

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