Dados os vetores vec{u}=(3,-1,1), \vec{v}=(1,2,2) e vec{w}=(2,0,-3). Calcule:
\vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec u = (3,-1,1), \vec v = (1,2,2) e \vec w = (2,0,-3)
e pede o produto misto \vec u \cdot (\vec v \times \vec w).
Para resolver, vamos primeiro calcular \vec v \times \vec w (produto vetorial) e depois fazer o produto escalar com \vec u.

Passo 2

Para encontrar \vec v \times \vec w usamos a regra do determinante:
\vec v \times \vec w = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot(-3)-2\cdot0)\;-\;\mathbf{j}(1\cdot(-3)-2\cdot2)\;+\;\mathbf{k}(1\cdot0-2\cdot2).
Calculando cada termo:
\mathbf{i}(-6),
-\mathbf{j}(-3-4)=+\mathbf{j}\,7,
\mathbf{k}(0-4)=-4\,\mathbf{k}.
Logo,
\vec v \times \vec w = (-6,\;7,\;-4).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec u por esse resultado:
\vec u \cdot (\vec v \times \vec w) = (3,-1,1)\cdot(-6,7,-4) =3\cdot(-6)+(-1)\cdot7+1\cdot(-4).
Somando:
3\times(-6) = -18,\quad -1\times7=-7,\quad 1\times(-4)=-4,
então
-18 -7 -4 = -29.

Resposta

-29

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