4-Sendo |\vec{u}|=2,|\vec{v}|=3 e 120^{\circ} o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, calcular:
a) \vec{u} \cdot \vec{v}
b) |\vec{u}+\vec{v}|
c) |\vec{u}-\vec{v}|

Passo 1

O enunciado dá |\vec u|=2, |\vec v|=3 e o ângulo entre eles \theta=120^\circ. Pede-se o produto escalar \vec u\cdot\vec v e as normas de \vec u+\vec v e \vec u-\vec v. Vamos usar a definição de produto escalar e as fórmulas para norma de soma e diferença de vetores.

Passo 2

O produto escalar satisfaz
\vec u \cdot \vec v = |\vec u|\,|\vec v|\,\cos\theta.
Como \theta=120^\circ e \cos120^\circ=-\tfrac12, temos
\vec u \cdot \vec v = 2\cdot3\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr) = -3.

Passo 3

Para calcular |\vec u+\vec v|, usamos a identidade
|\vec u + \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v.
Substituindo |\vec u|=2, |\vec v|=3 e \vec u\cdot\vec v=-3:
|\vec u + \vec v|^2 = 2^2 + 3^2 + 2\cdot(-3) = 4 + 9 - 6 = 7,
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|\vec u + \vec v| = \sqrt{7}.

Passo 4

Para |\vec u-\vec v|, aplicamos
|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2\,\vec u\cdot\vec v.
Substituindo os valores:
|\vec u - \vec v|^2 = 4 + 9 - 2\cdot(-3) = 13 + 6 = 19,
portanto
|\vec u - \vec v| = \sqrt{19}.

Resposta

a) -3
b) \sqrt{7}
c) \sqrt{19}

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