Dados os vetores vec{u}=(3,-1,1), \vec{v}=(1,2,2) e vec{w}=(2,0,-3). Calcule:
\vec{v} \cdot(\vec{w} \times \vec{u})

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(3,-1,1), \vec{v}=(1,2,2) e \vec{w}=(2,0,-3) e pede o produto misto \vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}). Vamos usar a definição de produto vetorial para obter \vec{w}\times\vec{u} e depois fazer o produto escalar com \vec{v}.

Passo 2

Calculamos \vec{w}\times\vec{u} usando a regra de Sarrus ou determinantes:
\vec{w}\times\vec{u} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 0 & -3 \\\\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(0\cdot1-(-3)\cdot(-1)) -\mathbf{j}(2\cdot1-(-3)\cdot3) +\mathbf{k}(2\cdot(-1)-0\cdot3).
Logo,
\vec{w}\times\vec{u} =(-3)\,\mathbf{i}-11\,\mathbf{j}-2\,\mathbf{k} \quad\Longrightarrow\quad \vec{w}\times\vec{u}=(-3,-11,-2).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec{v}=(1,2,2) com \vec{w}\times\vec{u}=(-3,-11,-2):
\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) =1\cdot(-3)+2\cdot(-11)+2\cdot(-2) =-3-22-4=-29.

Resposta

-29

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