Dados os vetores vec{u}=(3,-1,1), \vec{v}=(1,2,2) e vec{w}=(2,0,-3). Calcule:
vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}), onde
\vec{u}=(3,-1,1), \vec{v}=(1,2,2) e \vec{w}=(2,0,-3).
O conteúdo aqui é produto vetorial seguido de produto escalar: primeiro achamos \vec{v}\times\vec{w} e depois fazemos o escalar com \vec{u}.

Passo 2

Vamos calcular
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & 2 & 2 \\[3pt] 2 & 0 & -3 \end{vmatrix}
Expandindo pela primeira linha:
\vec{v}\times\vec{w} = \mathbf{i}\,(2\cdot(-3)-2\cdot0) - \mathbf{j}\,(1\cdot(-3)-2\cdot2) + \mathbf{k}\,(1\cdot0-2\cdot2).
Logo,
\vec{v}\times\vec{w} = -6\,\mathbf{i} -(-7)\,\mathbf{j} -4\,\mathbf{k} = \bigl(-6,\,7,\,-4\bigr).]

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar com \vec{u}:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (3)\,(-6) + (-1)\,(7) + (1)\,(-4) = -18 -7 -4 = -29.

Resposta

-29

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