Determine a equação geral do plano para os casos onde:
o plano que contém as retas:
r:\left\{\begin{array}{c} \mathrm{x}=-2+\mathrm{t} \\ \mathrm{y}=-\mathrm{t} \\ \mathrm{z}=-3 \end{array} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} \mathrm{y}=-\mathrm{x}-1 \\ \mathrm{z}=3, \end{array}\right.\right.
onde t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as duas retas
r:\begin{cases}x=-2+t\y=-t\z=-3\end{cases},\quad t\in\mathbb{R} \quad\text{e}\quad s:\begin{cases}y=-x-1\z=3\end{cases},
ou seja, temos duas retas paralelas (ambas com direção (1,-1,0)) e queremos o plano que as contém. Para isso vamos usar que um plano é determinado por um vetor normal \mathbf{n} e um ponto P_0, e que \mathbf{n} pode ser obtido como produto vetorial de dois vetores não colineares do plano.

Passo 2

Escolhemos um ponto em cada reta e extraímos suas direções:
– Na reta r, para t=0 temos P_0 =(-2,0,-3) e vetor direcional
\mathbf{v}_r=(1,-1,0).
– Na reta s, fazemos x=u como parâmetro; para u=0 obtemos Q_0=(0,-1,3) e vetor direcional
\mathbf{v}_s=(1,-1,0).

Passo 3

Como \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s são paralelos, precisamos de um segundo vetor não colinear: usamos o vetor que liga P_0 a Q_0:
\mathbf{w}=Q_0-P_0=(0-(-2),\,-1-0,\,3-(-3))=(2,-1,6).

Passo 4

O vetor normal \mathbf{n} do plano é dado por
\mathbf{n} \;=\;\mathbf{v}_r\times\mathbf{w} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&-1&0\\\\ 2&-1&6 \end{vmatrix} =(-6,\,-6,\,1).
Para simplificar, podemos usar \mathbf{n}=(6,6,-1), multiplicando por -1.

Passo 5

A forma vetorial do plano com normal \mathbf{n}=(6,6,-1) passando por P_0=(-2,0,-3) é
6(x+2)+6(y-0)-1(z+3)=0.
Ao expandir e simplificar:
6x+12+6y - z-3=0 \quad\Longrightarrow\quad 6x+6y - z +9=0.

Resposta

A equação geral do plano que contém as retas r e s é
6x+6y - z +9 = 0.

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