Estabeleça as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
passa pelo ponto C(1,5,-2) e é paralela à reta definida pelos pontos A(5,-2,3) e B(-1,-4,5)

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por C(1,5,-2) e é paralela à reta que passa por A(5,-2,3) e B(-1,-4,5).
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3. Para resolver vamos:
  1. Calcular o vetor direção \vec{v} = \overrightarrow{AB}.
  2. Escrever a equação vetorial \vec{r}=\vec{r_0}+t\,\vec{v}.
  3. Extrair a forma paramétrica das componentes.
  4. Passar para a forma simétrica dividindo pelas componentes de \vec{v}.
  5. Encontrar a forma reduzida (cartesiana) como interseção de duas equações de plano cujo vetor normal seja ortogonal a \vec{v}.

Passo 2

Calcular o vetor direção da reta paralela:
\vec{v} \;=\;\overrightarrow{AB} \;=\;(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \;=\;(-1-5,\;-4-(-2),\;5-3) \;=\;(-6,\,-2,\,2).

Passo 3

Equação vetorial da reta: um ponto de apoio é C(1,5,-2), então
\vec{r}(t) =\bigl\langle1,5,-2\bigr\rangle + t\,\bigl\langle-6,-2,2\bigr\rangle.

Passo 4

Da vetorial extraímos a forma paramétrica, escrevendo as componentes:
\begin{cases} x(t) = 1 - 6t,\\\ y(t) = 5 - 2t,\\\ z(t) = -2 + 2t. \end{cases}

Passo 5

Forma simétrica (dividindo cada diferença pelo respectivo componente de \vec{v}):
\frac{x-1}{-6} \;=\; \frac{y-5}{-2} \;=\; \frac{z+2}{2}.

Passo 6

Para a forma reduzida (cartesiana) escrevemos a reta como interseção de dois planos cujos normais sejam ambos ortogonais a \vec{v}=(-6,-2,2). Um modo rápido é escolher dois vetores normais \vec{n}_1 e \vec{n}_2 tais que
\vec{n}_i\cdot\vec{v}=0 \quad(i=1,2),
e passar pelo ponto C. Por exemplo:
\vec{n}_1 = (0,1,1),\quad \vec{n}_2 = (1,0,3)
satisfazem
\vec{n}_1\cdot(-6,-2,2)=0
e
\vec{n}_2\cdot(-6,-2,2)=0.
As equações dos planos são
0\,(x-1)+1\,(y-5)+1\,(z+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad y+z-3=0,
1\,(x-1)+0\,(y-5)+3\,(z+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+3z+5=0.
Logo a forma cartesiana reduzida é o sistema
\begin{cases} y+z-3=0,\\\ x+3z+5=0. \end{cases}

Resposta

Equações da reta:
vetorial
\vec{r}(t) =\langle1,5,-2\rangle + t\,\langle-6,-2,2\rangle;
paramétrica
\begin{cases} x = 1 - 6t,\\\ y = 5 - 2t,\\\ z = -2 + 2t; \end{cases}
simétrica
\frac{x-1}{-6} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z+2}{2};
reduzida (cartesiana)
\begin{cases} y+z-3=0,\\\ x+3z+5=0. \end{cases}

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