Estabeleça as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
passa pelo ponto C(1,5,-2) e é paralela à reta definida pelos pontos A(5,-2,3) e B(-1,-4,5)
Passo 1
O enunciado pede a reta que passa por C(1,5,-2) e é paralela à reta que passa por A(5,-2,3) e B(-1,-4,5).
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3. Para resolver vamos:
Calcular o vetor direção \vec{v} = \overrightarrow{AB}.
Escrever a equação vetorial \vec{r}=\vec{r_0}+t\,\vec{v}.
Extrair a forma paramétrica das componentes.
Passar para a forma simétrica dividindo pelas componentes de \vec{v}.
Encontrar a forma reduzida (cartesiana) como interseção de duas equações de plano cujo vetor normal seja ortogonal a \vec{v}.
Para a forma reduzida (cartesiana) escrevemos a reta como interseção de dois planos cujos normais sejam ambos ortogonais a \vec{v}=(-6,-2,2). Um modo rápido é escolher dois vetores normais \vec{n}_1 e \vec{n}_2 tais que
\vec{n}_i\cdot\vec{v}=0 \quad(i=1,2),
e passar pelo ponto C. Por exemplo:
\vec{n}_1 = (0,1,1),\quad \vec{n}_2 = (1,0,3)
satisfazem \vec{n}_1\cdot(-6,-2,2)=0
e \vec{n}_2\cdot(-6,-2,2)=0.
As equações dos planos são