Dados os vetores vec{u}=(2,1,0), vec{v}=(1,-1,3) e vec{w}=(0,4,-2) em \mathbb{R}^{3}, calcule:
O volume do paralelepípedo definido pelos vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,1,0), \vec{v}=(1,-1,3) e \vec{w}=(0,4,-2) em \mathbb{R}^3 e pede o volume do paralelepípedo que eles formam. Para isso usamos o produto misto, ou seja o valor absoluto de
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}),
que é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}$. Usando o determinante por co­fatores:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 3\\\\ 0 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \bigl((-1)\cdot(-2)-3\cdot4,\;-\bigl(1\cdot(-2)-3\cdot0\bigr),\;1\cdot4-(-1)\cdot0\bigr) = (-10,2,4).

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}):
\vec{u}\cdot(-10,2,4) =2\cdot(-10)+1\cdot2+0\cdot4 =-20+2=-18.
O volume é o valor absoluto desse resultado, ou seja |-18|=18.

Resposta

18

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