Dados os vetores vec{u}=(2,1,0), vec{v}=(1,-1,3) e vec{w}=(0,4,-2) em \mathbb{R}^{3}, calcule:
A área do triângulo definido pelos vetores \vec{u} \mathrm{e} \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,1,0) e \vec{v}=(1,-1,3) em \mathbb{R}^3 e pede a área do triângulo formado por eles. Lembrando que a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v} é \|\vec{u}\times\vec{v}\|, basta dividir por 2 para obter a área do triângulo.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} =\bigl(1\cdot3-0\cdot(-1),\,-(2\cdot3-0\cdot1),\,2\cdot(-1)-1\cdot1\bigr) =(3,\,-6,\,-3).

Passo 3

Agora achamos a norma de \vec{u}\times\vec{v}:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\sqrt{3^2+(-6)^2+(-3)^2} =\sqrt{9+36+9} =\sqrt{54} =3\sqrt{6}.

Passo 4

A área do triângulo é metade da área do paralelogramo:
\text{Área}=\frac{1}{2}\,\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{6} =\frac{3\sqrt{6}}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}

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