Verifique se os conjuntos abaixo sāo subespaços vetoriais dos seus respectivos espaços, justificando formalmente sua resposta (verificando as condiçōes de fechamento para soma e multiplicação por escalar, e a presença do vetor nulo). W_{1}\left|(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}\right| x-2 y+z=0 \mid
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se W_{1} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-2y+z=0\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. Para isso, vamos checar três propriedades fundamentais:
Presença do vetor nulo em W_{1}.
Fechamento de W_{1} sob soma de vetores.
Fechamento de W_{1} sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação do vetor nulo.
O vetor nulo em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na equação de W_{1},
0 - 2\cdot 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)\in W_{1}.
Passo 3
Fechamento sob soma.
Sejam (x_{1},y_{1},z_{1}) e (x_{2},y_{2},z_{2}) vetores em W_{1}. Então
Portanto, a soma também satisfaz a equação e fica em W_{1}.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar.
Se (x,y,z)\in W_{1} e \lambda\in\mathbb{R}, então
\lambda x - 2(\lambda y) + \lambda z = \lambda\,(x - 2y + z) = \lambda \cdot 0 = 0.
Logo, \lambda(x,y,z)\in W_{1}.
Resposta
Como W_{1} contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W_{1} é de fato um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.