Verifique se os conjuntos abaixo sāo subespaços vetoriais dos seus respectivos espaços, justificando formalmente sua resposta (verificando as condiçōes de fechamento para soma e multiplicação por escalar, e a presença do vetor nulo).
W_{1}\left|(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}\right| x-2 y+z=0 \mid

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se W_{1} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-2y+z=0\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. Para isso, vamos checar três propriedades fundamentais:
  1. Presença do vetor nulo em W_{1}.
  2. Fechamento de W_{1} sob soma de vetores.
  3. Fechamento de W_{1} sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do vetor nulo.
O vetor nulo em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na equação de W_{1},
0 - 2\cdot 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)\in W_{1}.

Passo 3

Fechamento sob soma.
Sejam (x_{1},y_{1},z_{1}) e (x_{2},y_{2},z_{2}) vetores em W_{1}. Então
x_{1} - 2y_{1} + z_{1} = 0 \quad\text{e}\quad x_{2} - 2y_{2} + z_{2} = 0.
Considere a soma (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}). Temos
(x_{1}+x_{2}) - 2(y_{1}+y_{2}) + (z_{1}+z_{2}) = (x_{1}-2y_{1}+z_{1}) + (x_{2}-2y_{2}+z_{2}) = 0 + 0 = 0.
Portanto, a soma também satisfaz a equação e fica em W_{1}.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar.
Se (x,y,z)\in W_{1} e \lambda\in\mathbb{R}, então
\lambda x - 2(\lambda y) + \lambda z = \lambda\,(x - 2y + z) = \lambda \cdot 0 = 0.
Logo, \lambda(x,y,z)\in W_{1}.

Resposta

Como W_{1} contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W_{1} é de fato um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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