(3 pontos.) Considere o seguinte conjunto de vetores de \mathbb{R}^{3} . S=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1),(2,1,-1) \backslash Seja Wo subespaço gerado por S ou seja W=[S]
a) O conjunto S é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD) ? Justifique sua resposta
b) Encontre uma base para o subespaço W.
Qual a dimensāo de W ?
Verigique se o vetor p=(3,2,-1) pertence ao subespaço W

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = \{(1,1,0),\,(0,1,1),\,(1,2,1),\,(2,1,-1)\}
em \mathbb{R}^3, define W=[S] como o subespaço gerado por S e pede:
a) verificar se S é LI ou LD;
b) encontrar uma base de W e sua dimensão;
c) checar se p=(3,2,-1) pertence a W.
O conteúdo envolve testar independência linear por eliminação de Gauss, determinar pivôs para base e dimensão, e resolver combinação linear para verificar pertencimento.

Passo 2

Para checar independência, formamos a matriz cujas colunas são os vetores de S:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
Aplicando eliminação de Gauss:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-R_2}\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Há apenas 2 pivôs, logo \mathrm{rank}(A)=2<4 e S é linearmente dependente.

Passo 3

Dos pivôs, as colunas 1 e 2 são independentes, e as colunas 3 e 4 podem ser escritas em função delas. Das equações
c_1 + c_3 + 2c_4 = 0, \qquad c_2 + c_3 - c_4 = 0
para a combinação c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3+c_4v_4=0, escolhemos c_3=1,c_4=0 obtendo v_3=v_1+v_2 e c_3=0,c_4=1 obtendo v_4=2v_1 - v_2. Assim uma base de W é
\{\,v_1=(1,1,0),\;v_2=(0,1,1)\}.

Passo 4

O número de vetores na base é a dimensão de W. Como escolhemos 2 vetores independentes,
\dim W = 2.

Passo 5

Para ver se p=(3,2,-1) está em W, buscamos a,b tais que
a(1,1,0) + b(0,1,1) = (3,2,-1).
Isso dá o sistema
a = 3, \quad a + b = 2, \quad b = -1.
Da primeira equação a=3; da terceira b=-1; e a segunda verifica 3+(-1)=2. Logo existem a,b satisfazendo, e p\in W.

Resposta

a) S é linearmente dependente, pois \mathrm{rank}(A)=2<4.
b) Uma base de W é \{(1,1,0),\,(0,1,1)\}. \dim W = 2.
c) O vetor p=(3,2,-1) pertence a W.

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