Questão 1. (Valor 2,0) Considere a transformação linear tal T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que:
Considere: T(1,1,-1)=(1,0,1) ; T(0,1,-2)=(0,1,0) e T(1,1,0)=(1,1,1) Determine:
a) T(x, y, z)
b) T(1,0,-1)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cujos valores em três vetores v_1=(1,1,-1), v_2=(0,1,-2) e v_3=(1,1,0) são conhecidos:
Como v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes, formam base de \mathbb{R}^3. Para achar T(x,y,z) usamos essa base para expressar (x,y,z) e depois aplicamos linearidade. Em seguida calculamos T(1,0,-1).
Passo 2
Expressamos (x,y,z)\) na base \(\{v_1,v_2,v_3\}\):
\[(x,y,z)=\alpha\,(1,1,-1)+\beta\,(0,1,-2)+\gamma\,(1,1,0).