Questão 1. (Valor 2,0) Considere a transformação linear tal T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que:
  • Considere: T(1,1,-1)=(1,0,1) ; T(0,1,-2)=(0,1,0) e T(1,1,0)=(1,1,1) Determine:
    a) T(x, y, z)
    b) T(1,0,-1)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cujos valores em três vetores v_1=(1,1,-1), v_2=(0,1,-2) e v_3=(1,1,0) são conhecidos:
T(v_1)=(1,0,1),\quad T(v_2)=(0,1,0),\quad T(v_3)=(1,1,1).
Como v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes, formam base de \mathbb{R}^3. Para achar T(x,y,z) usamos essa base para expressar (x,y,z) e depois aplicamos linearidade. Em seguida calculamos T(1,0,-1).

Passo 2

Expressamos (x,y,z)\) na base \(\{v_1,v_2,v_3\}\): \[(x,y,z)=\alpha\,(1,1,-1)+\beta\,(0,1,-2)+\gamma\,(1,1,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} x=\alpha+\gamma\\\ y=\alpha+\beta+\gamma\\\ z=-\alpha-2\beta \end{cases}
Da terceira equação \alpha=-z-2\beta\]. Substituindo em \(x=\alpha+\gamma vem \gamma=x-\alpha=x+z+2\beta. Na segunda:
(-z-2\beta)+\beta+(x+z+2\beta)=y \\ \Longrightarrow\\ x+\beta=y \\ \Longrightarrow\\ \beta=y-x.
Logo
\alpha=2x-2y-z, \quad \gamma=-x+2y+z.

Passo 3

Pela linearidade,
T(x,y,z) =\alpha\,T(v_1)+\beta\,T(v_2)+\gamma\,T(v_3) =\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,0)+\gamma(1,1,1).
Somando coordenadas,
T(x,y,z)=(\alpha+\gamma,\;\beta+\gamma,\;\alpha+\gamma).
Substituindo \alpha e \gamma,
\alpha+\gamma=(2x-2y-z)+(-x+2y+z)=x, \quad \beta+\gamma=(y-x)+(-x+2y+z)=-2x+3y+z.
Portanto
T(x,y,z)=\bigl(x,\;-2x+3y+z,\;x\bigr).

Passo 4

Para (1,0,-1) basta substituir em T(x,y,z):
T(1,0,-1)=\bigl(1,\;-2\cdot1+3\cdot0+(-1),\;1\bigr)=(1,-3,1).

Resposta

(a) T(x,y,z)=\bigl(x,-2x+3y+z,x\bigr).
(b) T(1,0,-1)=(1,-3,1).

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