Efetuar: (\vec{\imath} \times \vec{k}) \times(\vec{\imath} \times \vec{\jmath})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial
(\vec{\imath}\times\vec{k})\times(\vec{\imath}\times\vec{\jmath}).
Informações relevantes (implícitas no enunciado):
  • \vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k} são os vetores unitários canônicos em \mathbb{R}^3 formando um sistema ortonormal de mão direita.
  • Conhecimentos úteis que podemos usar: propriedades do produto vetorial como anti‑comutatividade e as relações cíclicas entre \vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas do produto vetorial (explicação didática):
  • Anti‑comutatividade: para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b} vale
\vec{a}\times\vec{b} = -\,\vec{b}\times\vec{a}.
Isto significa que trocar a ordem inverte o sinal do produto vetorial.
  • Para os vetores unitários canônicos, as regras cíclicas (mnemônica da mão direita) são:
\vec{\imath}\times\vec{\jmath}=\vec{k},\qquad \vec{\jmath}\times\vec{k}=\vec{\imath},\qquad \vec{k}\times\vec{\imath}=\vec{\jmath}.
Dessas três, qualquer outra combinação pode ser obtida por anti‑comutatividade ou repetição (por exemplo \vec{\jmath}\times\vec{\imath}=-\vec{k}). Essas relações decorrem diretamente da definição geométrica do produto vetorial para a base canônica.

Passo 3

Vamos calcular primeiro os produtos internos que aparecem no enunciado, isto é \vec{\imath}\times\vec{k} e \vec{\imath}\times\vec{\jmath}.
Usando as relações cíclicas e a anti‑comutatividade:
  • Para \vec{\imath}\times\vec{\jmath} já temos diretamente
\vec{\imath}\times\vec{\jmath}=\vec{k}.
  • Para \vec{\imath}\times\vec{k} usamos anti‑comutatividade com \vec{k}\times\vec{\imath}=\vec{\jmath}:
\vec{\imath}\times\vec{k} = -\,\vec{k}\times\vec{\imath} = -\,\vec{\jmath}.

Passo 4

Substituímos os resultados obtidos em (\vec{\imath}\times\vec{k})\times(\vec{\imath}\times\vec{\jmath}). Com as contas do passo anterior temos
(\vec{\imath}\times\vec{k})\times(\vec{\imath}\times\vec{\jmath}) = (-\,\vec{\jmath})\times\vec{k}.

Passo 5

Calculamos agora (-\,\vec{\jmath})\times\vec{k}. Usando linearidade do produto vetorial em cada argumento e a relação \vec{\jmath}\times\vec{k}=\vec{\imath} (do passo 2):
(-\,\vec{\jmath})\times\vec{k} = -\,(\vec{\jmath}\times\vec{k}) = -\,\vec{\imath}.

Passo 6

Interpretação final e reforço (bem devagarinho): primeiro reduzimos cada cruz interna usando as regras da base canônica; depois cruzamos os resultados. Não houve necessidade de fórmulas complicadas — só as propriedades básicas do produto vetorial. Se quiser, na prova é seguro fazer exatamente assim: primeiro calcule as cruzes internas que forem só entre \vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}, depois combine.

Resposta

-\vec{\imath}

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