Dados os vetores vecu=(2,-4), v=(-5,1) e vecw=(-12,6), determine a e b tais que:
v=a u+b w

Passo 1

O exercício pede para escrever o vetor vec v=(-5,1) como combinação linear dos vetores vec u=(2,-4) e vec w=(-12,6), ou seja, encontrar escalares a e b tais que
vec v = a,vec u + b,vec w
Isso faz parte do tema combinação linear de vetores em R^2. Para resolver, vamos montar um sistema de duas equações (uma para cada componente) e resolvê-lo por eliminação.

Passo 2

Escrevendo componente a componente:
(-5,1) = a,(2,-4) ;+; b,(-12,6)
dá o sistema
-5 = 2a - 12b, 1 = -4a + 6b

Passo 3

Para eliminar a, multiplicamos a segunda equação por +tfrac12, obtendo
tfrac12cdot 1 = tfrac12l(-4a +6br) Longrightarrow tfrac12 = -2a +3b
Agora somamos essa nova equação com a primeira original:
(-5) + tfrac12 = (2a -12b) + (-2a +3b) Longrightarrow -,tfrac92 = -9b Longrightarrow b = tfrac12

Passo 4

Substituindo b=tfrac12 em qualquer das equações originais, por exemplo em -5 = 2a -12b:
-5 = 2a -12l(tfrac12r) Longrightarrow -5 = 2a -6 Longrightarrow 2a = 1 Longrightarrow a = tfrac12

Resposta

a = tfrac12,; b = tfrac12.

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