Dados os vetores e . Verifique se eles são LI, e caso sejam LD, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três vetores: , e . A gente precisa descobrir se esses vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Se forem LD, temos que escrever um deles como uma combinação linear dos outros dois. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser Linearmente Independente ou Dependente. Três vetores são LI se a única solução para a combinação for . Se existir outra solução, eles são LD.
Uma forma prática de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
O determinante de uma matriz 3x3 A = a & b & c d & e & f g & h & i é dado por:
Como o determinante é zero ( det(A) = 0 ), os vetores são Linearmente Dependentes (LD). Agora, vamos escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois.
Passo 7
Vamos tentar expressar V3 como combinação de V1 e V2 :
V3 = xV1 + yV2
Isso dá o sistema de equações:
-2 = 4x + 2y -1 = 2x + y 0 = -3x - y
Passo 8
Resolvendo o sistema, podemos usar a segunda equação para encontrar y :