Vimos que uma matriz An times n é simétrica se A^T=A e dizemos que a matriz An times n é anti-simétrica se A^T=-A
Mostre que para toda matriz An times n, a matriz A+A^T é simétrica e a matriz A-A^T é antisimétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas propriedades de transposição relativas a qualquer matriz AinR^ntimes n: que A+A^T satisfaz l(A+A^Tr)^T=A+A^T (logo é simétrica) e que A-A^T satisfaz l(A-A^Tr)^T=-(A-A^T) (logo é anti-simétrica). Para isso, vamos usar as propriedades
(M+N)^T=M^T+N^T, (M-N)^T=M^T-N^T, (M^T)^T=M
válidas para quaisquer matrizes compatíveis.

Passo 2

Aplicando a transposição em A+A^T e usando as propriedades acima, temos:
(A+A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T
Como (A+A^T)^T = A+A^T, concluímos que A+A^T é simétrica.

Passo 3

De modo análogo, aplicamos a transposição em A - A^T:
(A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -l(A - A^Tr)
Como (A - A^T)^T = -(A - A^T), concluímos que A - A^T é anti-simétrica.

Resposta

A + A^T é simétrica e A - A^T é anti-simétrica.

Exercícios relacionados