Vimos que uma matriz
é simétrica se
e dizemos que a matriz
é anti-simétrica se
Mostre que para toda matriz
, a matriz
é simétrica e a matriz
é antisimétrica.
Mostre que para toda matriz
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas propriedades de transposição relativas a qualquer matriz
: que
satisfaz
(logo é simétrica) e que
satisfaz
(logo é anti-simétrica). Para isso, vamos usar as propriedades
válidas para quaisquer matrizes compatíveis.
Passo 2
Aplicando a transposição em
e usando as propriedades acima, temos:
Como
, concluímos que
é simétrica.
Passo 3
De modo análogo, aplicamos a transposição em
:
Como
, concluímos que
é anti-simétrica.