Dados os vetores
e
do
, verifique que vale a Lei dos co-senos:
onde
é o ângulo entre
e
. O que ocorre no caso em que
? (Obs.: vale também no
).
Passo 1
O enunciado pede para verificar a Lei dos Cossenos em
(válida também em
), ou seja, mostrar que
onde
é o ângulo entre os vetores
e
. Para isso, vamos usar o produto interno (ou escalar) e a relação entre produto interno e cosseno do ângulo.
Passo 2
Começamos escrevendo a norma ao quadrado de
via produto interno:
Ao expandir, obtemos
Como
e
, segue
Passo 3
Pela definição do cosseno do ângulo entre dois vetores em termos do produto interno, temos
Substituindo em
, chega-se à Lei dos Cossenos:
Passo 4
No caso especial em que
, tem-se
. Logo a expressão acima reduz-se a
que é exatamente o Teorema de Pitágoras, pois
e
são ortogonais.
Resposta
Para