Dados os vetores u e v do R^2, verifique que vale a Lei dos co-senos:
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2|u||v| cos theta
onde theta é o ângulo entre u e v. O que ocorre no caso em que theta=pi2 ? (Obs.: vale também no R^n ).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a Lei dos Cossenos em R^2 (válida também em R^n), ou seja, mostrar que
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2,|u|,|v|costheta,
onde theta é o ângulo entre os vetores u e v. Para isso, vamos usar o produto interno (ou escalar) e a relação entre produto interno e cosseno do ângulo.

Passo 2

Começamos escrevendo a norma ao quadrado de u+v via produto interno:
|u+v|^2=(u+v)cdot(u+v)
Ao expandir, obtemos
(u+v)cdot(u+v)=ucdot u+2,ucdot v+vcdot v
Como ucdot u=|u|^2 e vcdot v=|v|^2, segue
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2,ucdot v

Passo 3

Pela definição do cosseno do ângulo entre dois vetores em termos do produto interno, temos
ucdot v=|u|,|v|costheta
Substituindo em |u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2,ucdot v, chega-se à Lei dos Cossenos:
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2,|u|,|v|costheta

Passo 4

No caso especial em que theta=tfracpi2, tem-se costheta=0. Logo a expressão acima reduz-se a
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2,
que é exatamente o Teorema de Pitágoras, pois u e v são ortogonais.

Resposta

|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2,|u|,|v|costheta
Para theta=tfracpi2, costheta=0 e portanto
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2.

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