Determine a equação do plano que passa pelo ponto (-2,0,1) e é perpendicular ao vetor n=(1,-1,3). Determine 3 pontos que pertencem ao plano encontrado, distintos de (-2,0,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por (-2,0,1) e tem vetor normal n=(1,-1,3). Vamos usar a forma ponto-normal de um plano, que se baseia no produto escalar entre o vetor diretor (x-x0,y-y0,z-z0) e o vetor normal n.

Passo 2

Pela forma ponto-normal, um ponto (x,y,z) pertence ao plano se
(,(x,y,z)-(-2,0,1),)cdot(1,-1,3)=0
Isto é,
(x+2,;y-0,;z-1)cdot(1,-1,3)=0

Passo 3

Calculando o produto escalar:
1,(x+2);-;1,(y-0);+;3,(z-1)=0
Longrightarrow x+2 -y+3z-3=0
Longrightarrow x - y +3z =1

Passo 4

Para obter pontos no plano, escolhemos valores de dois parâmetros e resolvemos para o terceiro em x - y +3z=1. Por exemplo:
  1. Se y=0 e z=0, então x=1, dando o ponto (1,0,0).
  2. Se y=1 e z=0, então x=2, dando o ponto (2,1,0).
  3. Se y=1 e z=1, então x-1+3=1 implica x=-1, dando o ponto (-1,1,1).

Resposta

A equação do plano é
x - y + 3z =1
Três pontos distintos no plano, além de (-2,0,1), são (1,0,0), (2,1,0) e (-1,1,1).

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