Suponha
seja uma função de classe
em algum aberto
e
um ponto crítico de
satisfazendo que
. Mostre que
Se
e
então
tem um valor máximo relativo em
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
, que é bem comportada (classe
, ou seja, tem derivadas contínuas até a segunda ordem) em alguma região aberta
do plano. Sabemos que no ponto
essa função tem um ponto crítico, ou seja, o gradiente dela ali é zero:
. Nosso objetivo é mostrar que, se o determinante da matriz Hessiana em
for positivo (
) e a segunda derivada parcial em relação a
for negativa (
), então
tem um valor máximo relativo nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz Hessiana. Para uma função de duas variáveis, a Hessiana
em um ponto é dada por:
onde
,
,
e
são as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
O determinante da Hessiana,
, é calculado por:
Esse valor nos ajuda a determinar a natureza do ponto crítico
.
Passo 4
No teste da segunda derivada para funções de duas variáveis, temos três casos principais:
- Se
e , então tem um mínimo relativo em . - Se
e , então tem um máximo relativo em . - Se
, então tem um ponto de sela em . - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, temos
e
, o que se encaixa no segundo caso, indicando um máximo relativo.
Passo 5
Então, aplicando o teste da segunda derivada:
- Sabemos que
, então é um ponto crítico. - Calculamos o determinante da Hessiana e vimos que
. - Observando que
, concluímos pelo teste que atinge um máximo relativo em .
Resposta
Portanto, sob as condições dadas (
e
), a função
possui um valor máximo relativo no ponto
.