Suponha f(x, y) seja uma função de classe C^2 em algum aberto U subset R^2 e (x0, y0) um ponto crítico de f satisfazendo que nabla f(x0, y0)=(0,0). Mostre que
Se H(x0, y0)>0 e partial^2 fpartial x^2(x0, y0)<0 então f tem um valor máximo relativo em (x0, y0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) , que é bem comportada (classe C^2 , ou seja, tem derivadas contínuas até a segunda ordem) em alguma região aberta U do plano. Sabemos que no ponto (x0, y0) essa função tem um ponto crítico, ou seja, o gradiente dela ali é zero: nabla f(x0, y0) = (0, 0) . Nosso objetivo é mostrar que, se o determinante da matriz Hessiana em (x0, y0) for positivo ( H(x0, y0) > 0 ) e a segunda derivada parcial em relação a x for negativa ( partial^2 fpartial x^2(x0, y0) < 0 ), então f tem um valor máximo relativo nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz Hessiana. Para uma função de duas variáveis, a Hessiana H em um ponto é dada por:
H = fxx & fxy fyx & fyy
onde fxx , fxy , fyx e fyy são as segundas derivadas parciais de f em relação a x e y .

Passo 3

O determinante da Hessiana, H(x0, y0) , é calculado por:
H = fxxfyy - (fxy)^2
Esse valor nos ajuda a determinar a natureza do ponto crítico (x0, y0) .

Passo 4

No teste da segunda derivada para funções de duas variáveis, temos três casos principais:
  1. Se H > 0 e fxx > 0 , então f tem um mínimo relativo em (x0, y0) .
  2. Se H > 0 e fxx < 0 , então f tem um máximo relativo em (x0, y0) .
  3. Se H < 0 , então f tem um ponto de sela em (x0, y0) .
  4. Se H = 0 , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, temos H > 0 e fxx < 0 , o que se encaixa no segundo caso, indicando um máximo relativo.

Passo 5

Então, aplicando o teste da segunda derivada:
  • Sabemos que nabla f(x0, y0) = (0, 0) , então (x0, y0) é um ponto crítico.
  • Calculamos o determinante da Hessiana e vimos que H(x0, y0) > 0 .
  • Observando que fxx(x0, y0) < 0 , concluímos pelo teste que f atinge um máximo relativo em (x0, y0) .

Resposta

Portanto, sob as condições dadas ( H(x0, y0) > 0 e fxx(x0, y0) < 0 ), a função f possui um valor máximo relativo no ponto (x0, y0) .

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