Verifique que vale a Desigualdade Triangular para todos os vetores u e v do R^2, dada por:
|u+v| <=|u|+|v|
Dê uma interpretação geométrica dessa desigualdade. (Dica: desenvolva |u+v|^2, use o fato de u cdot v <=|u cdot v| e a Desigualdade de Schwarz). (Obs: essa identidade vale também no R^n ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em R^2, vale
|u+v|<=|u|+|v|
(chamada Desigualdade Triangular). Vamos usar álgebra vetorial: expandir |u+v|^2, aplicar que ucdot v<=|ucdot v| e depois a Desigualdade de Schwarz l|ucdot vr|<=|u|,|v|.

Passo 2

Por definição de norma via produto escalar,
|u+v|^2=(u+v)cdot(u+v) =ucdot u+2,ucdot v+vcdot v =|u|^2+2,ucdot v+|v|^2

Passo 3

Como ucdot v<=|ucdot v| e pela Desigualdade de Schwarz
|ucdot v|<=|u|,|v|,
segue
2,ucdot v;<=;2,|ucdot v|;<=;2,|u|,|v|
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|u+v|^2;<=;|u|^2+2,|u|,|v|+|v|^2 =(|u|+|v|)^2

Passo 4

Como ambos os lados são não negativos, podemos tomar raiz quadrada:
|u+v|<=|u|+|v|

Passo 5

Geométricamente, u e v formam dois lados de um paralelogramo e u+v é a diagonal. A Desigualdade Triangular diz que o comprimento da diagonal não excede a soma dos comprimentos dos dois lados adjacentes, o que equivale ao fato de que em qualquer triângulo a soma de dois lados é maior ou igual ao terceiro.

Resposta

A desigualdade triangular
|u+v|<=|u|+|v|
está demonstrada. Geometricamente, ela reflete que a diagonal de um paralelogramo (ou o terceiro lado de um triângulo) não pode ter comprimento maior que a soma dos lados adjacentes.

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