Verifique que vale a Desigualdade Triangular para todos os vetores e do , dada por:
Dê uma interpretação geométrica dessa desigualdade. (Dica: desenvolva , use o fato de e a Desigualdade de Schwarz). (Obs: essa identidade vale também no ).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em , vale
(chamada Desigualdade Triangular). Vamos usar álgebra vetorial: expandir , aplicar que e depois a Desigualdade de Schwarz .
Passo 2
Por definição de norma via produto escalar,
|u+v|^2=(u+v)cdot(u+v) =ucdot u+2,ucdot v+vcdot v =|u|^2+2,ucdot v+|v|^2
Passo 3
Como ucdot v<=|ucdot v| e pela Desigualdade de Schwarz
|ucdot v|<=|u|,|v|,
segue
2,ucdot v;<=;2,|ucdot v|;<=;2,|u|,|v|
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|u+v|^2;<=;|u|^2+2,|u|,|v|+|v|^2 =(|u|+|v|)^2
Passo 4
Como ambos os lados são não negativos, podemos tomar raiz quadrada:
|u+v|<=|u|+|v|
Passo 5
Geométricamente, u e v formam dois lados de um paralelogramo e u+v é a diagonal. A Desigualdade Triangular diz que o comprimento da diagonal não excede a soma dos comprimentos dos dois lados adjacentes, o que equivale ao fato de que em qualquer triângulo a soma de dois lados é maior ou igual ao terceiro.
Resposta
A desigualdade triangular
|u+v|<=|u|+|v|
está demonstrada. Geometricamente, ela reflete que a diagonal de um paralelogramo (ou o terceiro lado de um triângulo) não pode ter comprimento maior que a soma dos lados adjacentes.