Dados os vetores u=(1,0,-1) e v=(2,3,1) em R^3. O vetor w=(3,3,0) pode ser escrito como combinação linear de u e v?

Passo 1

O enunciado fornece os vetores em R^3:
u = (1,0,-1), v = (2,3,1), w = (3,3,0)
Queremos saber se existem escalares alpha e beta tais que
alpha,u + beta,v = w
O conteúdo principal é combinação linear de vetores, o que leva à resolução de um sistema linear.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear alpha,u + beta,v = w coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha(1,0,-1) + beta(2,3,1) = (3,3,0) Longrightarrow alpha + 2beta = 3, 0alpha + 3beta = 3, -,alpha + beta = 0

Passo 3

Da segunda equação
3beta = 3
segue imediatamente
beta = 1

Passo 4

Substituindo beta=1 na primeira equação alpha + 2beta = 3, temos
alpha + 2cdot1 = 3 Longrightarrow alpha = 1

Passo 5

Para confirmar, verificamos a terceira equação:
-,alpha + beta = -1 + 1 = 0,
o que bate com o sistema.

Passo 6

Encontramos alpha=1 e beta=1 satisfazendo alpha,u + beta,v = w. Logo w é combinação linear de u e v.

Resposta

Sim. w = u + v.

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