Escreva a matriz [cc2 & 3 -1 & 4] como combinação linear das matrizes [ll1 & 0 0 & 1], [ll1 & 1 0 & 0], e [ll0 & 0 1 & 1].

Passo 1

O exercício pede para escrever a matriz
2 & 3 -1 & 4
como combinação linear das matrizes
1 & 0 0 & 1, 1 & 1 0 & 0, 0 & 0 1 & 1
O conteúdo aqui é formar uma combinação linear em M2(R) e resolver o sistema para achar os coeficientes.

Passo 2

Chamemos alpha,beta,gamma os escalares de modo que
alpha1 & 0 0 & 1 +beta1 & 1 0 & 0 +gamma0 & 0 1 & 1 = 2 & 3 -1 & 4

Passo 3

Somando à esquerda, obtemos
alpha+beta & beta gamma & alpha+gamma = 2 & 3 -1 & 4

Passo 4

Comparando entradas, surge o sistema
alpha+beta=2, beta=3, gamma=-1, alpha+gamma=4

Passo 5

Das duas equações centrais temos beta=3 e gamma=-1. Então a primeira dá alpha+3=2impliesalpha=-1, mas a última exige alpha-1=4impliesalpha=5. Há contradição, isto é, não existe solução para (alpha,beta,gamma).

Resposta

Não é possível expressar 2 & 3 -1 & 4 como combinação linear das matrizes dadas, pois o sistema de equações é incompatível.

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