Encontre condições sobre a, b, c para que o vetor (a, b, c) in R^3 seja combinação linear dos vetores (1,2,3),(-1,0,1), e (2,4,6).

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais (a,b,c)inR^3 existe combinação linear
(a,b,c)=alpha,(1,2,3)+beta,(-1,0,1)+gamma,(2,4,6)
O conteúdo é álgebra linear: verificar a dependência entre vetores e achar as condições de pertencimento ao span desses vetores.

Passo 2

Observe que
(2,4,6)=2,(1,2,3),
logo o terceiro vetor é múltiplo do primeiro e não acrescenta dimensão ao span. Basta usar os vetores independentes (1,2,3) e (-1,0,1).

Passo 3

Escrevemos então a combinação genérica usando apenas dois parâmetros:
(a,b,c)=s,(1,2,3)+t,(-1,0,1)

Passo 4

Das componentes dessa igualdade seguem três equações isoladas:
a = s - t,
b = 2s,
c = 3s + t

Passo 5

Da segunda equação vem
s = b2
Substituindo em a = s - t obtemos
t = s - a = b2 - a
Finalmente, na terceira equação:
c = 3s + t = 3cdotb2 + l(b2 - ar) = 2b - a

Passo 6

Concluímos que (a,b,c) pertence ao span dos três vetores se, e somente se,
c = 2b - a,
ou equivalentemente
a + c = 2b

Resposta

A condição necessária e suficiente é
a + c = 2b

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