Seja ABC um triângulo no plano com pontos A=(1,1), B=(4,5) e C=(6,2). Considere os pontos medios P, Q e R dos lados A B, B C e C A respectivamente. Então se M=(3,2) é um ponto interior do triângulo, calcule a soma dos vetores
M P+M Q+M R

Passo 1

O enunciado dá o triângulo ABC com
A=(1,1), B=(4,5), C=(6,2),
e define P,Q,R como os pontos médios de AB,BC,CA. Queremos
MP+MQ+MR
sendo M=(3,2). Vamos usar propriedades de soma de vetores e coordenadas de pontos médios.

Passo 2

Calcular coordenadas de P,Q,R como médias dos extremos:
P=A+B2=l(1+42,1+52r)=(2,5,3),
Q=B+C2=l(4+62,5+22r)=(5,3,5),
R=C+A2=l(6+12,2+12r)=(3,5,1,5)

Passo 3

Escrever cada vetor MP = P - M e somar:
MP+MQ+MR =(P+Q+R)-3M

Passo 4

Como
P+Q+R=A+B2+B+C2+C+A2 =A+B+C,
segue
(P+Q+R)-3M=(A+B+C)-3M
Agora,
A+B+C=(1+4+6,;1+5+2)=(11,8), 3M=3,(3,2)=(9,6),
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(11,8)-(9,6)=(2,2)

Resposta

MP+MQ+MR=(2,2)

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