Mostre que as bases E=(e1, e2, e3) e F=(-e1+e2, e2, e3) têm orientação oposta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as bases
E=(vec e1,vec e2,vec e3)
e
F=(-vec e1+vec e2,;vec e2,;vec e3)
em R^3 têm orientações opostas. Para isso vamos usar o critério de orientação via determinante: montamos a matriz de mudança de base de E para F e analisamos o sinal do seu determinante.

Passo 2

A matriz M de mudança de base de E para F tem colunas dadas pelas coordenadas dos vetores de F na base E.
  • O vetor -vec e1+vec e2 tem coordenadas (-1,1,0).
  • O vetor vec e2 tem coordenadas (0,1,0).
  • O vetor vec e3 tem coordenadas (0,0,1).
    Logo,
M = -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Como M é triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(M) = (-1)cdot 1cdot 1 = -1
O fato de det(M) ser negativo mostra que a base F inverte a orientação da base E.

Resposta

As bases E e F têm orientações opostas, pois det(M)=-1<0.

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