No espaço vetorial V dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , considere a seguinte base
1,1-t,(1-t)^2,(1-t)^3
Determine as coordenadas de cada um dos vetores de V, apresentados abaixo, na base em questão:
v=3-2 t-t^2.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de v = 3 - 2t - t^2 no espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3, em relação à base
B = ,1,;1 - t,;(1 - t)^2,;(1 - t)^3
Vamos expressar v como combinação linear desses quatro vetores e comparar coeficientes de potências de t.

Passo 2

Procuramos escalares a,b,c,d tais que
v ;=; acdot 1 ;+; bcdot(1 - t) ;+; ccdot(1 - t)^2 ;+; dcdot(1 - t)^3
Para facilitar, expandimos as potências de (1-t):
(1 - t)^2 = 1 - 2t + t^2,
(1 - t)^3 = 1 - 3t + 3t^2 - t^3

Passo 3

Substituindo as expansões, a soma fica
a + b(1 - t) + c(1 - 2t + t^2) + d(1 - 3t + 3t^2 - t^3)
= (a + b + c + d) ;+;(-b - 2c - 3d),t ;+;(c + 3d),t^2 ;+;(-d),t^3

Passo 4

Igualamos essa expressão a
e comparamos coeficientes de
Da última equação vem . Então
Por fim, de segue

Resposta

As coordenadas de v na base B são
[v]B = (0,;4,;-1,;0)

Exercícios relacionados