Dados W1=(x, x) ; x in R e W2=(x, 3 x) ; x in R subespaços de R^2, temos R^2=W1 oplus W2.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado define os subespaços
W1=(x,x)mid xinR, W2=(x,3x)mid xinR
de R^2 e pergunta se R^2=W1oplus W2. Para isso, precisamos mostrar duas coisas:
  1. W1cap W2=(0,0).
  2. W1+W2=R^2.

Passo 2

Verificamos a interseção. Seja (x,x)in W1cap W2. Então existem y tais que
(x,x)=(y,3y)
Isso implica
x=y e x=3y
Daí y=3yimplies 2y=0implies y=0 e, portanto, x=0. Logo
W1cap W2=(0,0)

Passo 3

Mostramos que a soma é todo
Isso dá o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Como sempre existe solução, (W_1+W_2=\mathbb{R}^2].

Passo 4

Concluímos que W1cap W2=0 e W1+W2=R^2, ou seja, R^2=W1oplus W2.

Resposta

Verdadeiro

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