Dados z_{1}=-2+i e z_{2}=1-2 i, determine:
z=z_{1} \cdot z_{2} em coordenadas retangulares e polares

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z_{1}=-2+i e z_{2}=1-2i e pede o produto
z=z_{1}\cdot z_{2} em coordenadas retangulares e polares. Vamos usar a regra de multiplicação
de complexos e depois aplicar
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \theta=\arg(z)=\operatorname{atan2}(y,x).

Passo 2

Calculando o produto em forma retangular:
z = (-2+i)\,(1-2i) = -2\cdot1 + (-2)\cdot(-2i) + i\cdot1 + i\cdot(-2i) = -2 + 4i + i -2\,i^{2}.
Como i^{2}=-1, temos -2\,i^{2}=+2. Logo
z = (-2+2) + (4+1)i = 0 + 5i.

Passo 3

Agora convertemos \,z=0+5i para coordenadas polares. O módulo é
r = \sqrt{0^{2} + 5^{2}} = 5,
e como a parte real é zero e a imaginária positiva, o argumento principal é
\theta = \frac{\pi}{2}.

Resposta

Em coordenadas retangulares:
z = 0 + 5i.
Em coordenadas polares (forma cis ou exponencial):
z = 5\bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\bigr) \quad\text{ou}\quad z = 5e^{\,i\pi/2}.

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