Dados z_{1}=-2+i e z_{2}=1-2 i, determine:
z=\frac{1}{2} \bar{z}_{1}+z_{2}^{2}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
\displaystyle z_{1}=-2+i e \displaystyle z_{2}=1-2\,i
e pede o valor de
z = \frac{1}{2}\,\overline{z_{1}} + z_{2}^{2}.
O conteúdo aqui é: 1) calcular o conjugado de z_{1}, 2) multiplicar por \tfrac12, 3) elevar z_{2} ao quadrado e 4) somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o conjugado de z_{1}. Se \displaystyle z_{1}=-2+i, então
\overline{z_{1}} = -2 - i.
Multiplicando por \tfrac12, obtemos
\frac{1}{2}\,\overline{z_{1}} = \frac{1}{2}(-2 - i) = -1 - \frac{i}{2}.

Passo 3

Agora elevamos z_{2} ao quadrado. Como \displaystyle z_{2}=1-2\,i,
z_{2}^{2} = (1-2\,i)^{2} = 1 - 4\,i + 4\,i^{2} = 1 - 4\,i - 4 = -3 - 4\,i.

Passo 4

Basta somar os resultados de cada parcela:
z = \Bigl(-1 - \frac{i}{2}\Bigr) + \bigl(-3 - 4\,i\bigr) = -1 - 3 \;+\; \Bigl(-\tfrac{1}{2} - 4\Bigr)i = -4 - \frac{9}{2}\,i.

Resposta

z = -4 - \frac{9}{2}\,i.

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