Exercício 2) Calcule a integral da função f definida sobre a superfície S, nos casos seguintes:
f(x, y, z)=x^{2} z, sendo S: z^{2}=x^{2}+y^{2} ; 1 \leq z \leq 4 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=x^{2}z e S é a parte do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2},
com 1\le z\le4.
O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar, e vamos usar parametrização adequada para o cone e a fórmula
\iint_{S}f\,dS=\iint_{D}f\bigl(\mathbf r(u,v)\bigr)\,\bigl\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Escolhemos as variáveis de parâmetro (u,v)=(z,\theta), com
0\le\theta\le2\pi,\quad 1\le z\le4,
e a parametrização do cone (ramo superior)
\mathbf r(z,\theta)=\bigl(x,y,z\bigr) =\bigl(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;z\bigr).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
\mathbf r_{z}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \qquad \mathbf r_{\theta}=(-z\sin\theta,\;z\cos\theta,\;0),
e o produto vetorial
\mathbf r_{z}\times\mathbf r_{\theta} =\bigl(-z\cos\theta,\;-z\sin\theta,\;z\bigr),
cuja norma é
\bigl\|\mathbf r_{z}\times\mathbf r_{\theta}\bigr\| =\sqrt{(-z\cos\theta)^{2}+(-z\sin\theta)^{2}+z^{2}} =\sqrt{2\,z^{2}} =z\sqrt{2}.

Passo 4

Substituímos na integral:
x^{2}z\bigl(\mathbf r(z,\theta)\bigr) =\bigl(z\cos\theta\bigr)^{2}\,z =z^{3}\cos^{2}\theta,
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\iint_{S}x^{2}z\,dS =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=1}^{4} \bigl(z^{3}\cos^{2}\theta\bigr)\; \bigl(z\sqrt{2}\bigr)\,dz\,d\theta =\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta \int_{1}^{4}z^{4}\,dz.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta =\pi, \qquad \int_{1}^{4}z^{4}\,dz =\frac{1}{5}\bigl(4^{5}-1^{5}\bigr) =\frac{1023}{5}.
Portanto
\iint_{S}x^{2}z\,dS =\sqrt{2}\;\pi\;\frac{1023}{5} =\frac{1023\sqrt{2}\,\pi}{5}.

Resposta

\iint_{S}x^{2}z\,dS =\frac{1023\sqrt{2}\,\pi}{5}.

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