Dados z_{1}=-2+i e z_{2}=1-2 i, determine:
z=\frac{1}{z_{1} \cdot z_{2}} em coordenadas retangulares e polares

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z_{1}=-2+i e z_{2}=1-2i e pede para calcular
z = \frac{1}{z_{1}\cdot z_{2}}
primeiro em coordenadas retangulares e depois em coordenadas polares. Vamos usar multiplicação de complexos, inversão (recíproco) e conversão para forma polar.

Passo 2

Calculamos o produto
z_{1}\cdot z_{2} = (-2+i)\,(1-2i).
Expandindo,
(-2+i)\,(1-2i) = -2 +4i + i -2i^2 = -2 +5i -2(-1) = -2 +5i +2 = 5i.

Passo 3

Agora obtemos o recíproco:
z = \frac{1}{5i}.
Racionalizando o denominador, multiplicamos por -i/-i:
\frac{1}{5i}\,\frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-5i^2} = \frac{-i}{-5(-1)} = -\frac{i}{5}.
Logo, em coordenadas retangulares,
z = -\frac{i}{5} = 0 - \frac{1}{5}i.

Passo 4

Para a forma polar, achamos módulo e argumento de z = -\tfrac{i}{5}.
O módulo é
r = \bigl|-\tfrac{i}{5}\bigr| = \frac{1}{5}.
O ponto fica sobre o eixo imaginário negativo, cujo argumento principal é -\tfrac{\pi}{2}.
Portanto, em forma polar,
z = \frac{1}{5}\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{2}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).

Resposta

Em coordenadas retangulares:
z = -\frac{i}{5}.
Em coordenadas polares:
z = \frac{1}{5}\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{2}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).

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