Exercício 2) Calcule a integral da função f definida sobre a superfície S, nos casos seguintes:
f(x, y, z)=x, sendo S: z^{2}=x^{2}+y^{2} ; 1 \leq z \leq 3 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=x e
S:\;z^{2}=x^{2}+y^{2},\quad 1\le z\le 3.
O conteúdo é integral de superfície de função escalar. Para resolver vamos parametrizar a parte do cone z^2=x^2+y^2 com z\ge1, calcular o elemento de área dS via produto vetorial dos vetores parciais e depois integrar.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas adaptadas ao cone, usando parâmetros u (que será igual a z) e v (ângulo em volta do eixo z):
\mathbf r(u,v) = \bigl(u\cos v,\;u\sin v,\;u\bigr),
com
1 \le u \le 3,\quad 0 \le v \le 2\pi.
Note que nessa parametrização temos x=u\cos v, y=u\sin v e z=u, satisfazendo x^2+y^2=u^2=z^2.

Passo 3

Para obter o elemento de área, calculamos os vetores parciais
\mathbf r_u = (\cos v,\;\sin v,\;1), \qquad \mathbf r_v = (-u\sin v,\;u\cos v,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf r_u \times \mathbf r_v = (-u\cos v,\;-u\sin v,\;u),
cuja norma é
\bigl\lvert \mathbf r_u \times \mathbf r_v \bigr\rvert = \sqrt{u^2\cos^2v + u^2\sin^2v + u^2} = u\sqrt{2}.
Logo o elemento de área é dS = u\sqrt2\,du\,dv.

Passo 4

Substituindo f(x,y,z)=x=u\cos v e dS=u\sqrt2\,du\,dv na integral, obtemos
\iint_{S}x\,dS = \int_{v=0}^{2\pi}\int_{u=1}^{3} (u\cos v)\,(u\sqrt2)\,du\,dv = \sqrt2\int_{v=0}^{2\pi}\cos v\,dv \;\times\;\int_{u=1}^{3}u^2\,du.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{v=0}^{2\pi}\cos v\,dv = \bigl[\sin v\bigr]_{0}^{2\pi} = 0,
e
\int_{u=1}^{3}u^2\,du = \bigl[\tfrac{u^3}{3}\bigr]_{1}^{3} \neq 0.
Como o fator angular é zero, o produto inteiro é zero.

Resposta

0.

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