Exercício 2) Calcule a integral da função f definida sobre a superfície S, nos casos seguintes: f(x, y, z)=x, sendo S: z^{2}=x^{2}+y^{2} ; 1 \leq z \leq 3 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=x e
S:\;z^{2}=x^{2}+y^{2},\quad 1\le z\le 3.
O conteúdo é integral de superfície de função escalar. Para resolver vamos parametrizar a parte do cone z^2=x^2+y^2 com z\ge1, calcular o elemento de área dS via produto vetorial dos vetores parciais e depois integrar.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cilíndricas adaptadas ao cone, usando parâmetros u (que será igual a z) e v (ângulo em volta do eixo z):