Determinar uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
\left\{\begin{aligned} x-y-z-t & =0 \\\\ 3 x-y+2 z-4 t & =0 \\\\ 2 y+5 z+t & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do espaço solução (ou núcleo) do sistema homogêneo
\begin{cases} x - y - z - t = 0,\\\\ 3x - y +2z -4t = 0,\\\\ 2y +5z + t = 0. \end{cases}
Isso envolve montar a matriz do sistema, usar eliminação de Gauss para encontrar as variáveis livres e expressar a solução geral em forma vetorial.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes (sem coluna de termos independentes, pois é homogêneo) e aplicamos operações elementares:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\\\ 3 & -1 & 2 & -4\\\\ 0 & 2 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
Fazendo R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\\\ 0 & 2 & 5 & -1\\\\ 0 & 2 & 5 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora subtraímos R_2 de R_3: R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\\\ 0 & 2 & 5 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Da última linha obtemos 2t=0, logo
t = 0.

Passo 4

Da segunda linha temos
2y + 5z - t = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y +5z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{5}{2}\,z.
Substituindo em x - y - z - t=0:
x -\bigl(-\tfrac{5}{2}z\bigr) - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x +\tfrac{5}{2}z - z =0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{3}{2}\,z.
Portanto as variáveis livres são z e escolhemos z como parâmetro.

Passo 5

Escrevemos a solução geral em função de z:
(x,y,z,t) = \bigl(-\tfrac{3}{2}z,\,-\tfrac{5}{2}z,\;z,\;0\bigr) = z\cdot\bigl(-\tfrac{3}{2},\,-\tfrac{5}{2},\,1,\,0\bigr).
Para evitar frações, pode-se reescrever tomando s = \tfrac{z}{2}, obtendo
(x,y,z,t) = s\cdot(-3,\,-5,\,2,\,0).

Resposta

Uma base conveniente do espaço solução é
\bigl\{\,(-3,\,-5,\,2,\,0)\bigr\},
e a sua dimensão é 1.

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