Dar uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do R^4 sobre R onde W=(x, y, z, t) in R ; x-t=z ; x-3 z+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço vetorial W de R^4 definido por:
W = (x, y, z, t) in R^4 mid x - t = z ; e ; x - 3z + y = 0
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares para descrever W . Vamos precisar resolver essas equações para encontrar como os vetores de W se comportam e, assim, identificar uma base e a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar a resolução:
x - t = z x - 3z + y = 0
Nossa meta é expressar algumas variáveis em função das outras, identificando quais são livres (podem assumir qualquer valor) e quais são dependentes (são determinadas pelas livres).

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação para z :
z = x - t
Agora, substituímos z na segunda equação:
x - 3(x - t) + y = 0 x - 3x + 3t + y = 0 -2x + 3t + y = 0
Agora, vamos resolver essa equação para y :
y = 2x - 3t
Então, já expressamos y e z em função de x e t .

Passo 4

Agora, vamos expressar o vetor geral (x, y, z, t) usando essas relações:
(x, y, z, t) = (x, 2x - 3t, x - t, t)
Podemos separar os termos com x e t :
= x cdot (1, 2, 1, 0) + t cdot (0, -3, -1, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1, 2, 1, 0) e (0, -3, -1, 1) .

Passo 5

Assim, identificamos que uma base para W é:
, (1, 2, 1, 0), (0, -3, -1, 1) ,
Cada vetor nessa base é linearmente independente e gera todo o subespaço W .

Passo 6

Para encontrar a dimensão de W , contamos quantos vetores existem na base. Aqui, temos 2 vetores na base, então:
dim(W) = 2

Resposta

Uma base para W é , (1, 2, 1, 0), (0, -3, -1, 1) , e a dimensão de W é 2.

Exercícios relacionados