Dar uma base e a dimensão do subespaço vetorial
do
sobre
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço vetorial
de
definido por:
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares para descrever
. Vamos precisar resolver essas equações para encontrar como os vetores de
se comportam e, assim, identificar uma base e a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar a resolução:
Nossa meta é expressar algumas variáveis em função das outras, identificando quais são livres (podem assumir qualquer valor) e quais são dependentes (são determinadas pelas livres).
Passo 3
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Então, já expressamos
e
em função de
e
.
Passo 4
Agora, vamos expressar o vetor geral
usando essas relações:
Podemos separar os termos com
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Assim, identificamos que uma base para
é:
Cada vetor nessa base é linearmente independente e gera todo o subespaço
.
Passo 6
Para encontrar a dimensão de
, contamos quantos vetores existem na base. Aqui, temos 2 vetores na base, então:
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 2.