Use o processo prático para determinação de uma base para o subespaço vetorial W, e, se necessário, complete o conjunto a uma base do espaço vetorial em questão. W=(1, x^2+x-1, x^3-x, x-x^4, x-1) onde V=P4(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o subespaço vetorial W , que é formado por vetores com componentes polinomiais. A gente está trabalhando com o espaço V = P4(R) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 4 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos usar o processo prático de determinação de uma base, que envolve verificar a independência linear dos vetores e garantir que eles gerem o subespaço W .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é o subespaço W . Ele é formado por vetores da forma (1, x^2 + x - 1, x^3 - x, x - x^4, x - 1) . Cada componente desse vetor é um polinômio de P4(R) . Nosso objetivo é descobrir quais desses vetores são linearmente independentes, ou seja, não podem ser escritos como combinação linear uns dos outros.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir a matriz para a forma escalonada. Se todas as colunas tiverem pivôs, os vetores são independentes. Caso contrário, alguns vetores podem ser combinações lineares dos outros e precisamos eliminá-los.

Passo 4

Vamos escrever os vetores em termos de coeficientes dos polinômios:
  • v1 = (1, x^2 + x - 1, x^3 - x, x - x^4, x - 1)
  • Como estamos trabalhando em P4(R) , cada polinômio pode ser representado por seus coeficientes para x^0, x^1, x^2, x^3, x^4 .
Então, representamos cada componente do vetor como um vetor de coeficientes:
  • 1 é (1, 0, 0, 0, 0)
  • x^2 + x - 1 é (-1, 1, 1, 0, 0)
  • x^3 - x é (0, -1, 0, 1, 0)
  • x - x^4 é (0, 1, 0, 0, -1)
  • x - 1 é (-1, 1, 0, 0, 0)

Passo 5

Agora, montamos a matriz com esses vetores como colunas:
1 & -1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 0
Vamos reduzir essa matriz usando eliminação de Gauss para encontrar os pivôs.

Passo 6

Após a redução por eliminação de Gauss, identificamos que as colunas 1, 2 e 3 contêm pivôs, o que significa que esses vetores são linearmente independentes. As colunas 4 e 5 não têm pivôs adicionais, então elas são combinações lineares das primeiras três.

Passo 7

Portanto, uma base para o subespaço W é formada pelos primeiros três vetores:
(1, x^2 + x - 1, x^3 - x, x - x^4, x - 1), (-1, 1, -1, 1, 1), (0, -1, 0, 1, 0)

Resposta

A base para o subespaço W é:
(1, x^2 + x - 1, x^3 - x, x - x^4, x - 1), (-1, 1, -1, 1, 1), (0, -1, 0, 1, 0)

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