Use o processo prático para determinação de uma base para o subespaço vetorial W, e, se necessário, complete o conjunto a uma base do espaço vetorial em questão. onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o subespaço vetorial , que é formado por vetores com componentes polinomiais. A gente está trabalhando com o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 4 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos usar o processo prático de determinação de uma base, que envolve verificar a independência linear dos vetores e garantir que eles gerem o subespaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é o subespaço . Ele é formado por vetores da forma . Cada componente desse vetor é um polinômio de . Nosso objetivo é descobrir quais desses vetores são linearmente independentes, ou seja, não podem ser escritos como combinação linear uns dos outros.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir a matriz para a forma escalonada. Se todas as colunas tiverem pivôs, os vetores são independentes. Caso contrário, alguns vetores podem ser combinações lineares dos outros e precisamos eliminá-los.
Passo 4
Vamos escrever os vetores em termos de coeficientes dos polinômios:
Como estamos trabalhando em , cada polinômio pode ser representado por seus coeficientes para .
Então, representamos cada componente do vetor como um vetor de coeficientes:
é
é
é
é
é
Passo 5
Agora, montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Vamos reduzir essa matriz usando eliminação de Gauss para encontrar os pivôs.
Passo 6
Após a redução por eliminação de Gauss, identificamos que as colunas 1, 2 e 3 contêm pivôs, o que significa que esses vetores são linearmente independentes. As colunas 4 e 5 não têm pivôs adicionais, então elas são combinações lineares das primeiras três.
Passo 7
Portanto, uma base para o subespaço W é formada pelos primeiros três vetores:
(1, x^2 + x - 1, x^3 - x, x - x^4, x - 1), (-1, 1, -1, 1, 1), (0, -1, 0, 1, 0)
Resposta
A base para o subespaço W é:
(1, x^2 + x - 1, x^3 - x, x - x^4, x - 1), (-1, 1, -1, 1, 1), (0, -1, 0, 1, 0)