Seja f(x)=x^2+1(x-2)^2 a) Calcule f^prime(x) e f^prime prime(x); b) os extremos relativos de f, os intervalos de crescimento e intervalos de decrescimento de f; c) As assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f; d) os pontos de inflexão,os intervalos onde o gráfico da função f é côncava para cima e onde é côncava para baixo;

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^2+1(x-2)^2
e pede:
a) as derivadas primeira e segunda,
b) extremos relativos e intervalos de crescimento/decrescimento,
c) assíntotas horizontais e verticais,
d) pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
Para isso vamos usar: regra do quociente para derivar, estudo de sinal de f' e f'', limite em infinito e em pontos de não definição.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente
f'(x) =(2x),(x-2)^2-(x^2+1),2(x-2)(x-2)^4
no numerador fatoramos 2(x-2):
N &=2(x-2)l[x(x-2)-(x^2+1)r] &=2(x-2)l(x^2-2x-x^2-1r) =-2(2x+1)(x-2)
Logo
boxedf'(x)=-2,2x+1(x-2)^3

Passo 3

Para f''(x) derivamos
f'(x)=-2(2x+1)(x-2)^-3
Usando produto e cadeia,
f''(x) &=-2l[2,(x-2)^-3+(2x+1)(-3)(x-2)^-4r] &=-4(x-2)+6(2x+1)(x-2)^4 =8x+14(x-2)^4 =;2,4x+7(x-2)^4
Portanto
boxedf''(x)=2,4x+7(x-2)^4

Passo 4

Criticidade e monotonicidade. O domínio é Rsetminus2.
f'(x)=0 em 2x+1=0Rightarrow x=-tfrac12.
f' não existe em x=2.
Estudando o sinal de
f'(x)=-2,2x+1(x-2)^3
notamos que (x-2)^3 é negativo se x<2 e positivo se x>2. O fator -2 muda o sinal de 2x+1. Fazendo quadro de sinais:
– Em (-infty,-tfrac12): 2x+1<0, (x-2)^3<0 Rightarrow f'<0 (decrescente).
– Em (-tfrac12,2): 2x+1>0, (x-2)^3<0 Rightarrow f'>0 (crescente).
– Em (2,infty): 2x+1>0, (x-2)^3>0 Rightarrow f'<0 (decrescente).
Logo há um mínimo relativo em x=-tfrac12.
O valor é
fl(-tfrac12r) =l(-tfrac12r)^2+1l(-tfrac12-2r)^2 =tfrac14+1l(-tfrac52r)^2 =5/425/4 =15

Passo 5

Assíntotas.
– Vertical: a função não está definida em x=2.
limxto2f(x)=+infty,
logo a reta x=2 é assíntota vertical.
– Horizontal: para xtopminfty,
f(x)simx^2x^2=1,
então y=1 é assíntota horizontal.

Passo 6

Pontos de inflexão e concavidade.
f''(x)=2,4x+7(x-2)^4
O denominador é sempre positivo (exceto em x=2). O zero de f'' vem de 4x+7=0Rightarrow x=-tfrac74.
– Para x<-tfrac74: 4x+7<0 Rightarrow f''<0 (côncava para baixo).
– Para -tfrac74<x<2 ou x>2: 4x+7>0 Rightarrow f''>0 (côncava para cima).
O ponto de inflexão é
x=-tfrac74, fl(-tfrac74r) =l(-tfrac74r)^2+1l(-tfrac74-2r)^2 =49/16+1(-15/4)^2 =65/16225/16 =1345

Resposta

a) f'(x)=-2,2x+1(x-2)^3 e f''(x)=2,4x+7(x-2)^4.
b) Extremum: mínimo relativo em x=-tfrac12, com f(-tfrac12)=tfrac15. Crescente em l(-tfrac12,2r), decrescente em (-infty,-tfrac12) e em (2,infty).
c) Assíntota vertical x=2 e assíntota horizontal y=1.
d) Ponto de inflexão em l(-tfrac74,tfrac1345r). Côncava para baixo em (-infty,-tfrac74) e côncava para cima em (-tfrac74,2)cup(2,infty).

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