Seja
a) Calcule
e
; b) os extremos relativos de
, os intervalos de crescimento e intervalos de decrescimento de
; c) As assíntotas horizontais e verticais do gráfico de
; d) os pontos de inflexão,os intervalos onde o gráfico da função
é côncava para cima e onde é côncava para baixo;
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) as derivadas primeira e segunda,
b) extremos relativos e intervalos de crescimento/decrescimento,
c) assíntotas horizontais e verticais,
d) pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
Para isso vamos usar: regra do quociente para derivar, estudo de sinal de e
, limite em infinito e em pontos de não definição.
a) as derivadas primeira e segunda,
b) extremos relativos e intervalos de crescimento/decrescimento,
c) assíntotas horizontais e verticais,
d) pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
Para isso vamos usar: regra do quociente para derivar, estudo de sinal de
Passo 2
Aplicando a regra do quociente
no numerador fatoramos
:
Logo
Passo 3
Para
derivamos
Usando produto e cadeia,
Portanto
Passo 4
Criticidade e monotonicidade. O domínio é
.
– em
.
– não existe em
.
–
–
Estudando o sinal de
notamos que
é negativo se
e positivo se
. O fator
muda o sinal de
. Fazendo quadro de sinais:
– Em
:
,
(decrescente).
– Em :
,
(crescente).
– Em :
,
(decrescente).
– Em
– Em
Logo há um mínimo relativo em
.
O valor é
O valor é
Passo 5
Assíntotas.
– Vertical: a função não está definida em .
– Vertical: a função não está definida em
logo a reta
é assíntota vertical.
– Horizontal: para ,
– Horizontal: para
então
é assíntota horizontal.
Passo 6
Pontos de inflexão e concavidade.
O denominador é sempre positivo (exceto em
). O zero de
vem de
.
– Para :
(côncava para baixo).
– Para ou
:
(côncava para cima).
– Para
– Para
O ponto de inflexão é
Resposta
a)
e
.
b) Extremum: mínimo relativo em , com
. Crescente em
, decrescente em
e em
.
c) Assíntota vertical e assíntota horizontal
.
d) Ponto de inflexão em . Côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
b) Extremum: mínimo relativo em
c) Assíntota vertical
d) Ponto de inflexão em