Dar um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um conjunto de geradores para o subespaço vetorial
de
, que é definido por todos os vetores
que satisfazem a equação
. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais e conjuntos de geradores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de geradores. Em álgebra linear, um conjunto de geradores de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores de onde todos os outros vetores do subespaço podem ser formados através de combinações lineares. Ou seja, se conseguirmos expressar qualquer vetor de
como uma combinação linear dos vetores que escolhemos, então esses vetores formam um conjunto de geradores para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação que define
:
. Podemos rearranjar essa equação para expressar
em termos de
:
Isso significa que, para qualquer vetor
em
, o valor de
é sempre o dobro de
.
Passo 4
Além disso, não há restrições sobre o valor de
. Então, podemos considerar
e
como variáveis livres, ou seja, elas podem assumir quaisquer valores reais. Vamos chamar
de
e
de
, onde
e
são números reais.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Portanto, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Passo 6
Podemos reescrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear desses dois vetores.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é
.