Dar um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de R^3 :
U=(x, y, z) in R^3: x-2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um conjunto de geradores para o subespaço vetorial U de R^3 , que é definido por todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação x - 2y = 0 . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais e conjuntos de geradores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de geradores. Em álgebra linear, um conjunto de geradores de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores de onde todos os outros vetores do subespaço podem ser formados através de combinações lineares. Ou seja, se conseguirmos expressar qualquer vetor de U como uma combinação linear dos vetores que escolhemos, então esses vetores formam um conjunto de geradores para U .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação que define U : x - 2y = 0 . Podemos rearranjar essa equação para expressar x em termos de y :
x = 2y
Isso significa que, para qualquer vetor (x, y, z) em U , o valor de x é sempre o dobro de y .

Passo 4

Além disso, não há restrições sobre o valor de z . Então, podemos considerar y e z como variáveis livres, ou seja, elas podem assumir quaisquer valores reais. Vamos chamar y de s e z de t , onde s e t são números reais.

Passo 5

Substituindo y = s e z = t na expressão de x , temos:
x = 2s
Portanto, qualquer vetor em U pode ser escrito como:
(x, y, z) = (2s, s, t)

Passo 6

Podemos reescrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores (2, 1, 0) e (0, 0, 1) :
(2s, s, t) = s cdot (2, 1, 0) + t cdot (0, 0, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em U é uma combinação linear desses dois vetores.

Resposta

Um conjunto de geradores para U é , (2, 1, 0), (0, 0, 1) , .

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