seja [x1, x2] é um corte de Dedekind do conjunto dos racionais e seja [y1, y2] outro corte, prove que [x1 subset y1] ou [y1 subset x1].

Passo 1

O enunciado trabalha com cortes de Dedekind no conjunto dos racionais, ou seja, cada corte l[x1,x2r] é uma partição de Q tal que:
  1. x1neqemptyset e x1neqQ.
  2. Se ain x1 e b<a, então bin x1.
  3. x1 não tem máximo.
  4. x2=Qsetminus x1 e todo elemento de x1 é menor que todo de x2.
    Queremos mostrar que, dados dois cortes l[x1,x2r] e l[y1,y2r], ou x1subset y1 ou y1subset x1.

Passo 2

Suponha, para fins de contradição, que nem x1subset y1 nem y1subset x1.
Então existem
pin x1com pnotin y1
e
qin y1com qnotin x1
Como pnotin y1 temos pin y2. Como qnotin x1 temos qin x2.

Passo 3

Use agora a propriedade de que em cada corte todo elemento do primeiro conjunto é menor que todo do segundo:
  1. De pin x1 e qin x2 segue p<q.
  2. De qin y1 e pin y2 segue q<p.
    Portanto obtemos simultaneamente
p<q e q<p,
o que é impossível em Q.

Passo 4

A contradição mostra que nossa suposição estava errada. Logo, não pode ocorrer que nem x1subset y1 nem y1subset x1. Concluímos que necessariamente
x1subset y1 ou y1subset x1

Resposta

x1subset y1 ou y1subset x1.

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