seja
é um corte de Dedekind do conjunto dos racionais e seja
outro corte, prove que
ou
.
Passo 1
O enunciado trabalha com cortes de Dedekind no conjunto dos racionais, ou seja, cada corte
é uma partição de
tal que:
-
e . - Se
e , então . -
não tem máximo. -
e todo elemento de é menor que todo de .
Queremos mostrar que, dados dois cortese , ou ou .
Passo 2
Suponha, para fins de contradição, que nem
nem
.
Então existem
Então existem
e
Como
temos
. Como
temos
.
Passo 3
Use agora a propriedade de que em cada corte todo elemento do primeiro conjunto é menor que todo do segundo:
- De
e segue . - De
e segue .
Portanto obtemos simultaneamente
o que é impossível em
.
Passo 4
A contradição mostra que nossa suposição estava errada. Logo, não pode ocorrer que nem
nem
. Concluímos que necessariamente