Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços vetoriais de R^3 ?
(x, y, z) in R^3: x+y=0.

Passo 1

Então, temos que verificar se o conjunto (x, y, z) in R^3: x+y=0 é um subespaço vetorial de R^3. Vamos trabalhar com o conteúdo de álgebra linear, especificamente com as propriedades que definem um subespaço vetorial. Precisamos verificar se esse conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Substituindo na equação x + y = 0, temos 0 + 0 = 0, que é verdadeiro. Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto. Seja (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) dois vetores no conjunto, onde x1 + y1 = 0 e x2 + y2 = 0. A soma desses vetores é (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Vamos ver se x1 + x2 + y1 + y2 = 0. Como x1 + y1 = 0 e x2 + y2 = 0, somando essas duas equações, temos (x1 + x2) + (y1 + y2) = 0 + 0 = 0. Então, a soma está no conjunto.

Passo 4

Por último, vamos conferir se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalares. Ou seja, se pegarmos qualquer vetor no conjunto e multiplicarmos cada componente por um escalar k, o resultado também deve estar no conjunto. Seja (x, y, z) um vetor no conjunto, onde x + y = 0. Multiplicando por k, obtemos (k x, k y, k z). Vamos verificar se k x + k y = k (x + y) = k cdot 0 = 0. Portanto, k x + k y = 0, e o vetor resultante também está no conjunto.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares, ele é um subespaço vetorial de R^3.

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