Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais de
?
.
Passo 1
Então, temos que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Vamos trabalhar com o conteúdo de álgebra linear, especificamente com as propriedades que definem um subespaço vetorial. Precisamos verificar se esse conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
, temos
, que é verdadeiro. Então, o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto. Seja
e
dois vetores no conjunto, onde
e
. A soma desses vetores é
. Vamos ver se
. Como
e
, somando essas duas equações, temos
. Então, a soma está no conjunto.
Passo 4
Por último, vamos conferir se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalares. Ou seja, se pegarmos qualquer vetor no conjunto e multiplicarmos cada componente por um escalar
, o resultado também deve estar no conjunto. Seja
um vetor no conjunto, onde
. Multiplicando por
, obtemos
. Vamos verificar se
. Portanto,
, e o vetor resultante também está no conjunto.
Resposta
Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares, ele é um subespaço vetorial de
.