Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais de
?
e .
e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve ter. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Em álgebra linear, um subespaço de um espaço vetorial (nesse caso,
) é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades fundamentais:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - É fechado para adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
- É fechado para multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve pertencer ao conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto dado.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições do conjunto:
-
? Sim, porque . -
? Não, porque .
Como o vetor zero não pertence ao conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas vamos continuar verificando as outras propriedades para entender melhor.
Passo 4
2. Verificar se o conjunto é fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto, digamos
e
, onde
e
são números reais.
Somando
e
temos:
Para que
esteja no conjunto, as componentes devem satisfazer
e
. No entanto, a terceira componente é
, que não é igual a
. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto não pertence ao conjunto.
Passo 5
3. Verificar se o conjunto é fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto,
, e multiplicá-lo por um escalar
:
Para que
esteja no conjunto, deve-se ter
(o que é sempre verdade) e
. A segunda condição só é satisfeita se
. Para qualquer outro valor de
, a terceira componente não será igual a
, então
não pertence ao conjunto.
Resposta
Então, concluindo tudo isso, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero, não é fechado para adição e nem para multiplicação por escalar.