Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais de ?
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto (x, y, z) in R^3: x = y e z = 2 é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve ter. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Em álgebra linear, um subespaço de um espaço vetorial (nesse caso, R^3) é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades fundamentais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) deve estar no conjunto.
  2. É fechado para adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. É fechado para multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve pertencer ao conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele satisfaz as condições do conjunto:
  • x = y? Sim, porque 0 = 0.
  • z = 2? Não, porque 0 neq 2.
Como o vetor zero não pertence ao conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas vamos continuar verificando as outras propriedades para entender melhor.

Passo 4

2. Verificar se o conjunto é fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto, digamos u = (a, a, 2) e v = (b, b, 2), onde a e b são números reais.
Somando u e v temos:
u + v = (a + b, a + b, 2 + 2) = (a + b, a + b, 4)
Para que u + v esteja no conjunto, as componentes devem satisfazer x = y e z = 2. No entanto, a terceira componente é 4, que não é igual a 2. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto não pertence ao conjunto.

Passo 5

3. Verificar se o conjunto é fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto, u = (c, c, 2), e multiplicá-lo por um escalar k in R:
k cdot u = (k cdot c, k cdot c, k cdot 2) = (k c, k c, 2k)
Para que k cdot u esteja no conjunto, deve-se ter kc = kc (o que é sempre verdade) e 2k = 2. A segunda condição só é satisfeita se k = 1. Para qualquer outro valor de k, a terceira componente não será igual a 2, então k cdot u não pertence ao conjunto.

Resposta

Então, concluindo tudo isso, o conjunto (x, y, z) in R^3: x = y e z = 2 não é um subespaço vetorial de R^3 porque não contém o vetor zero, não é fechado para adição e nem para multiplicação por escalar.

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