Seja x=x in Q, x>0 tal que x^2<3 prove que x não tem supremo em Q
Explique detalhadamente o raciocínio, não use exemplos com números para provar, prove com fundamentos da matemática, e se necessário Dedekind.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = ,xinQmid x>0 e x^2<3
e pede para mostrar que S não tem supremo em Q.
Conteúdo: supremum em espaços ordenados, caráter incompleto de Q (não-Dedekind-completo) e uso de argumento por contradição sem recorrer a exemplos numéricos específicos (além dos valores fixos 2 e 3).

Passo 2

Mostramos primeiro que S é não vazio e está limitada superiormente em Q.
Como 1in S (pois 1^2=1<3), Sneqemptyset.
Para todo xin S temos x^2<3<4, logo 0<x<2.
Portanto 2 é um majorante racional de S.

Passo 3

Suponha, por contradição, que exista sinQ que seja o supremo de S. Então:
  1. s é majorante de S: para todo xin S, x<= s.
  2. s é o menor majorante: se u<s então u não é majorante de S.
Analisamos três possibilidades para s^2.

Passo 4

Caso s^2=3.
Então raiz3=sinQ, o que contradiz o fato clássico de que raiz3 é irracional.

Passo 5

Caso s^2<3.
Defina varepsilon = 3 - s^2>0. Escolha um racional
de<a in Q, 0<de<a<minl1,tfracvarepsilon2s+1r
Então t = s+de<a satisfaz
t^2 = s^2 + 2sde<a + de<a^2 < s^2 + (2s+1)de<a <= s^2 + varepsilon = 3,
logo tin S. Mas t>s, o que fere o fato de s ser majorante.

Passo 6

Caso s^2>3.
Defina varepsilon = s^2 - 3>0. Escolha um racional
de<a in Q, 0<de<a<minl1,tfracvarepsilon2sr
Então u = s-de<a satisfaz
u^2 = s^2 - 2sde<a + de<a^2 > s^2 - 2sde<a >= s^2 - varepsilon = 3,
logo u > raiz3. Mas todo xin S satisfaz x<raiz3<u, de modo que u também é majorante de S e u<s. Isso viola a minimalidade de s.

Resposta

O conjunto S não possui supremo em Q.

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