Seja
tal que
prove que
não tem supremo em
Explique detalhadamente o raciocínio, não use exemplos com números para provar, prove com fundamentos da matemática, e se necessário Dedekind.
Explique detalhadamente o raciocínio, não use exemplos com números para provar, prove com fundamentos da matemática, e se necessário Dedekind.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrar que
não tem supremo em
.
Conteúdo: supremum em espaços ordenados, caráter incompleto de (não-Dedekind-completo) e uso de argumento por contradição sem recorrer a exemplos numéricos específicos (além dos valores fixos 2 e 3).
Conteúdo: supremum em espaços ordenados, caráter incompleto de
Passo 2
Mostramos primeiro que
é não vazio e está limitada superiormente em
.
Como (pois
),
.
Para todo temos
, logo
.
Portanto é um majorante racional de
.
Como
Para todo
Portanto
Passo 3
Suponha, por contradição, que exista
que seja o supremo de
. Então:
-
é majorante de : para todo , . -
é o menor majorante: se então não é majorante de .
Analisamos três possibilidades para
.
Passo 4
Caso
.
Então , o que contradiz o fato clássico de que
é irracional.
Então
Passo 5
Caso
.
Defina . Escolha um racional
Defina
Então
satisfaz
logo
. Mas
, o que fere o fato de
ser majorante.
Passo 6
Caso
.
Defina . Escolha um racional
Defina
Então
satisfaz
logo
. Mas todo
satisfaz
, de modo que
também é majorante de
e
. Isso viola a minimalidade de
.
Resposta
O conjunto
não possui supremo em
.