Descrever o gráfico de g (como são os ramos, pontos importantes, comportamento nas fronteiras e em \pm\infty).
Informações dadas:
Há três fórmulas, cada uma válida em um intervalo diferente: x<-1, -1\le x\le 1 e x>1.
As fórmulas são polinômio cúbico (x+1)^3, polinômio quadrático x^2-1 e módulo |x-1|.]
Passo 2
O que é domínio e como verificar aqui (aula rápida e intuitiva).
Domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a função está definida.
Para funções definidas por partes, o domínio é a união dos intervalos onde cada parte está especificada — desde que em cada intervalo a expressão faça sentido (sem divisão por zero, sem raiz de índice par de número negativo, etc.).
Aplicando isso ao nosso caso: as três expressões (x+1)^3, x^2-1 e |x-1| são definidas para todo x\in\mathbb{R}. Além disso, os intervalos dados cobrem toda a reta: (-\infty,-1), [-1,1] e (1,\infty). Esses três juntos formam (-\infty,\infty).
Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Agora vamos calcular a imagem (“o que y pode assumir”) dividindo por partes: imagem é a união das imagens de cada ramo. Primeiro estabeleço a técnica:
Para cada ramo restringido a um intervalo, encontro o conjunto de valores que a expressão atinge aí (min, max, limites, monotonicidade).
Depois faço a união desses conjuntos.
Passo 4
Imagem do ramo esquerdo: (x+1)^3 para x<-1.
Faço a substituição t=x+1. Então t<0 quando x<-1.
A função t\mapsto t^3 é estritamente crescente e mapeia (-\infty,0) em (-\infty,0) (porque números negativos ao cubo continuam negativos e o cubo cresce com t).
Exemplos concretos para fixar: se t=-2 então t^3=-8; se t\to0^{-} então t^3\to0^{-}.
Conclusão: a imagem do ramo esquerdo é (-\infty,0). Note que 0 não é atingido por esse ramo porque em x=-1 esse ramo não está definido (é estrito x<-1), mas se aproxima de 0 por valores negativos.
Passo 5
Imagem do ramo do meio: x^2-1 para -1\le x\le 1.
Observação: x^2 é uma parábola com mínimo em x=0. Em [-1,1] ela atinge o mínimo em x=0 e valores maiores nas extremidades.
Calculo os valores extremos:
Em x=0: x^2-1 = 0^2-1 = -1. Então o mínimo é -1.
Em x=\pm 1: x^2-1 = 1-1 = 0. Então o máximo no intervalo é 0.
Como o intervalo [-1,1] é fechado e a função é contínua, todos os valores entre -1 e 0 são atingidos.
Conclusão: a imagem do ramo do meio é o intervalo [-1,0].
Passo 6
Imagem do ramo direito: |x-1| para x>1.
Para x>1 temos |x-1|=x-1 (pois a expressão dentro do módulo é positiva).
A função x\mapsto x-1 com x>1 é uma reta que para x\to1^+ tende a 0^+ e cresce sem bound quando x\to+\infty.
Portanto a imagem desse ramo é (0,\infty). Note que o 0 não é incluído por esse ramo porque o ramo exige x>1; porém 0 pode ser atingido por outro ramo (ver passo seguinte).
Passo 7
União das imagens das três partes.
Do passo 4: (-\infty,0).
Do passo 5: [-1,0].
Do passo 6: (0,\infty).
Agora faço a união:
(-\infty,0)\\ \cup\\ [-1,0]\\ \cup\\ (0,\infty).
Note que (-\infty,0) já cobre todos os negativos; [-1,0] cobre o pedaço entre -1 e 0 incluindo -1 e 0; (0,\infty) cobre todos os positivos.
Assim a união cobre todos os reais: (-\infty,\infty)=\mathbb{R}.
Conclusão: a imagem de g é todo \mathbb{R}.
Passo 8
Análise do gráfico (como desenhar e pontos importantes), com explicações didáticas:
Ramo 1 (esquerda): desenhar a parte da cúbica y=(x+1)^3 apenas para x<-1.
Essa cúbica tem ponto de inflexão em x=-1 com valor y=0, mas o ramo está aberto em (-1,0) (ponto não incluído para esse ramo).
Quando x\to-\infty, y\to-\infty. Ao aproximar-se de x=-1 vindo da esquerda, y\to0^{-} (aproxima 0 por valores negativos).
Ramo 2 (meio): desenhar a parábola y=x^2-1 para -1\le x\le 1.
Vértice em (0,-1) (mínimo global no intervalo).
Nos extremos (-1,0) e (1,0) a parábola atinge y=0. Esses pontos estão incluídos (pontos cheios).
Ramo 3 (direita): desenhar a reta y=x-1 para x>1 (pois |x-1|=x-1 aí).
Para x\to1^{+}, y\to0^{+} (a reta aproxima 0 pela direita); o ponto (1,0) não pertence a esse ramo (aberto), mas pertence ao ramo do meio.
Para x\to+\infty, y\to+\infty.
Continuidade nos pontos de ligação:
Em x=-1: limite da esquerda é 0, o valor em -1 (pela parte do meio) é 0. Logo g é contínua em -1.
Em x=1: limite pela esquerda é 0, limite pela direita é 0, e g(1)=0 (pela parte do meio). Logo g é contínua em 1.
Visão geral do esboço:
Uma cúbica no lado esquerdo que sobe e se aproxima de ( -1,0) por baixo (ponto aberto naquele ramo).
Uma parábola entre -1 e 1 com fundo em (0,-1) e fechando em (-1,0) e (1,0).
Uma reta de inclinação +1 saindo de (1,0) para cima à direita (ponto (1,0) é fornecido pela parábola).
Dica prática para desenhar rápido na prova: marque os três pontos (-1,0), (0,-1) e (1,0); desenhe a parábola entre -1 e 1; prenda à esquerda a parte da cúbica que chega a (-1,0) por baixo; prenda à direita a reta que sai de (1,0).
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}
Gráfico: ramo da cúbica y=(x+1)^3 para x<-1 (aberto em (-1,0)); parábola y=x^2-1 em [-1,1] com vértice em (0,-1) e pontos (-1,0),(1,0) incluídos; reta y=x-1 para x>1 (aberta em (1,0)).