Dar domínio, imagem e gráfico da função dada por:
g(x)=\left\{\begin{array}{lll}(x+1)^{3} & \text { se } & x<-1 \\\ x^{2}-1 & \text { se } & -1 \leq x \leq 1 \\\ |x-1| & \text { se } & x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função peça-a-peça
g(x)=\begin{cases} (x+1)^{3}, & x<-1,\\[4pt] x^{2}-1, & -1\le x\le 1,\\[4pt] |x-1|, & x>1. \end{cases}
As perguntas são:
  • Determinar o domínio de g.
  • Determinar a imagem (conjunto-valor, range) de g.
  • Descrever o gráfico de g (como são os ramos, pontos importantes, comportamento nas fronteiras e em \pm\infty).
Informações dadas:
  • Há três fórmulas, cada uma válida em um intervalo diferente: x<-1, -1\le x\le 1 e x>1.
  • As fórmulas são polinômio cúbico (x+1)^3, polinômio quadrático x^2-1 e módulo |x-1|.]

Passo 2

O que é domínio e como verificar aqui (aula rápida e intuitiva).
  • Domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a função está definida.
  • Para funções definidas por partes, o domínio é a união dos intervalos onde cada parte está especificada — desde que em cada intervalo a expressão faça sentido (sem divisão por zero, sem raiz de índice par de número negativo, etc.).
    Aplicando isso ao nosso caso: as três expressões (x+1)^3, x^2-1 e |x-1| são definidas para todo x\in\mathbb{R}. Além disso, os intervalos dados cobrem toda a reta: (-\infty,-1), [-1,1] e (1,\infty). Esses três juntos formam (-\infty,\infty).
    Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Agora vamos calcular a imagem (“o que y pode assumir”) dividindo por partes: imagem é a união das imagens de cada ramo. Primeiro estabeleço a técnica:
  • Para cada ramo restringido a um intervalo, encontro o conjunto de valores que a expressão atinge aí (min, max, limites, monotonicidade).
  • Depois faço a união desses conjuntos.

Passo 4

Imagem do ramo esquerdo: (x+1)^3 para x<-1.
  • Faço a substituição t=x+1. Então t<0 quando x<-1.
  • A função t\mapsto t^3 é estritamente crescente e mapeia (-\infty,0) em (-\infty,0) (porque números negativos ao cubo continuam negativos e o cubo cresce com t).
  • Exemplos concretos para fixar: se t=-2 então t^3=-8; se t\to0^{-} então t^3\to0^{-}.
    Conclusão: a imagem do ramo esquerdo é (-\infty,0). Note que 0 não é atingido por esse ramo porque em x=-1 esse ramo não está definido (é estrito x<-1), mas se aproxima de 0 por valores negativos.

Passo 5

Imagem do ramo do meio: x^2-1 para -1\le x\le 1.
  • Observação: x^2 é uma parábola com mínimo em x=0. Em [-1,1] ela atinge o mínimo em x=0 e valores maiores nas extremidades.
  • Calculo os valores extremos:
    • Em x=0: x^2-1 = 0^2-1 = -1. Então o mínimo é -1.
    • Em x=\pm 1: x^2-1 = 1-1 = 0. Então o máximo no intervalo é 0.
  • Como o intervalo [-1,1] é fechado e a função é contínua, todos os valores entre -1 e 0 são atingidos.
    Conclusão: a imagem do ramo do meio é o intervalo [-1,0].

Passo 6

Imagem do ramo direito: |x-1| para x>1.
  • Para x>1 temos |x-1|=x-1 (pois a expressão dentro do módulo é positiva).
  • A função x\mapsto x-1 com x>1 é uma reta que para x\to1^+ tende a 0^+ e cresce sem bound quando x\to+\infty.
  • Portanto a imagem desse ramo é (0,\infty). Note que o 0 não é incluído por esse ramo porque o ramo exige x>1; porém 0 pode ser atingido por outro ramo (ver passo seguinte).

Passo 7

União das imagens das três partes.
  • Do passo 4: (-\infty,0).
  • Do passo 5: [-1,0].
  • Do passo 6: (0,\infty).
    Agora faço a união:
(-\infty,0)\\ \cup\\ [-1,0]\\ \cup\\ (0,\infty).
  • Note que (-\infty,0) já cobre todos os negativos; [-1,0] cobre o pedaço entre -1 e 0 incluindo -1 e 0; (0,\infty) cobre todos os positivos.
  • Assim a união cobre todos os reais: (-\infty,\infty)=\mathbb{R}.
    Conclusão: a imagem de g é todo \mathbb{R}.

Passo 8

Análise do gráfico (como desenhar e pontos importantes), com explicações didáticas:
  • Ramo 1 (esquerda): desenhar a parte da cúbica y=(x+1)^3 apenas para x<-1.
    • Essa cúbica tem ponto de inflexão em x=-1 com valor y=0, mas o ramo está aberto em (-1,0) (ponto não incluído para esse ramo).
    • Quando x\to-\infty, y\to-\infty. Ao aproximar-se de x=-1 vindo da esquerda, y\to0^{-} (aproxima 0 por valores negativos).
  • Ramo 2 (meio): desenhar a parábola y=x^2-1 para -1\le x\le 1.
    • Vértice em (0,-1) (mínimo global no intervalo).
    • Nos extremos (-1,0) e (1,0) a parábola atinge y=0. Esses pontos estão incluídos (pontos cheios).
  • Ramo 3 (direita): desenhar a reta y=x-1 para x>1 (pois |x-1|=x-1 aí).
    • Para x\to1^{+}, y\to0^{+} (a reta aproxima 0 pela direita); o ponto (1,0) não pertence a esse ramo (aberto), mas pertence ao ramo do meio.
    • Para x\to+\infty, y\to+\infty.
  • Continuidade nos pontos de ligação:
    • Em x=-1: limite da esquerda é 0, o valor em -1 (pela parte do meio) é 0. Logo g é contínua em -1.
    • Em x=1: limite pela esquerda é 0, limite pela direita é 0, e g(1)=0 (pela parte do meio). Logo g é contínua em 1.
  • Visão geral do esboço:
    • Uma cúbica no lado esquerdo que sobe e se aproxima de ( -1,0) por baixo (ponto aberto naquele ramo).
    • Uma parábola entre -1 e 1 com fundo em (0,-1) e fechando em (-1,0) e (1,0).
    • Uma reta de inclinação +1 saindo de (1,0) para cima à direita (ponto (1,0) é fornecido pela parábola).
  • Dica prática para desenhar rápido na prova: marque os três pontos (-1,0), (0,-1) e (1,0); desenhe a parábola entre -1 e 1; prenda à esquerda a parte da cúbica que chega a (-1,0) por baixo; prenda à direita a reta que sai de (1,0).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}
Gráfico: ramo da cúbica y=(x+1)^3 para x<-1 (aberto em (-1,0)); parábola y=x^2-1 em [-1,1] com vértice em (0,-1) e pontos (-1,0),(1,0) incluídos; reta y=x-1 para x>1 (aberta em (1,0)).

Exercícios relacionados