Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo de forçamento:
O que se pede: determinar a solução geral
dessa equação (ou seja, a solução homogênea somada a uma solução particular).
Informações relevantes do enunciado:
- É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Devemos usar o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (tirando o lado direito):
Explicação do procedimento: para equações lineares com coeficientes constantes eu procuro soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica para
.
A equação característica é
Resolver essa quadrática: fatorando,
logo as raízes são
e
.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se houvesse).
Passo 3
Explicar o método dos coeficientes indeterminados (breve aula):
- Quando o termo não-homogêneo é uma combinação linear de funções simples (exponenciais
, polinômios, senos/cossenos ou produtos desses), tenta-se uma solução particular com a mesma forma, mas com coeficientes indeterminados a serem encontrados. - Regra prática para exponenciais: se o forçamento é
com polinômio, tenta-se onde tem o mesmo grau de . Se for raiz da equação característica de multiplicidade , multiplica-se a tentativa por (para evitar ressonância). - Aqui o forçamento é
, ou seja (grau zero) e . Como NÃO é raiz da equação característica e são as raízes), não há ressonância e basta tentar
onde
é a constante indeterminada que vamos encontrar.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação para determinar
.
Derivadas:
Substituindo em
:
Queremos que isso seja igual ao lado direito
. Assim,
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.