Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=10 e^{4 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo de forçamento:
y'' - y' - 6y = 10 e^{4t}.
O que se pede: determinar a solução geral y(t) dessa equação (ou seja, a solução homogênea somada a uma solução particular).
Informações relevantes do enunciado:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é 10 e^{4t}.
  • Devemos usar o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (tirando o lado direito):
y'' - y' - 6y = 0.
Explicação do procedimento: para equações lineares com coeficientes constantes eu procuro soluções da forma y(t)=e^{rt}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica para r.
A equação característica é
r^2 - r - 6 = 0.
Resolver essa quadrática: fatorando,
r^2 - r - 6 = (r-3)(r+2)=0,
logo as raízes são r_1=3 e r_2=-2.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se houvesse).

Passo 3

Explicar o método dos coeficientes indeterminados (breve aula):
  • Quando o termo não-homogêneo é uma combinação linear de funções simples (exponenciais e^{at}, polinômios, senos/cossenos ou produtos desses), tenta-se uma solução particular y_p com a mesma forma, mas com coeficientes indeterminados a serem encontrados.
  • Regra prática para exponenciais: se o forçamento é P(t)e^{at} com P(t) polinômio, tenta-se y_p(t)=Q(t)e^{at} onde Q tem o mesmo grau de P. Se a for raiz da equação característica de multiplicidade m, multiplica-se a tentativa por t^m (para evitar ressonância).
  • Aqui o forçamento é 10 e^{4t}, ou seja P(t)=10 (grau zero) e a=4. Como r=4 NÃO é raiz da equação característica (3 e -2 são as raízes), não há ressonância e basta tentar
y_p(t)=A e^{4t},
onde A é a constante indeterminada que vamos encontrar.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p e substituir na equação para determinar A.
Derivadas:
y_p(t)=A e^{4t},
y_p'(t)=4A e^{4t},
y_p''(t)=16A e^{4t}.
Substituindo em y''-y'-6y:
y_p'' - y_p' - 6y_p = (16A - 4A - 6A)e^{4t} = 6A e^{4t}.
Queremos que isso seja igual ao lado direito 10 e^{4t}. Assim,
6A e^{4t} = 10 e^{4t} \quad\Rightarrow\quad 6A = 10.
Logo
A = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.
Portanto a solução particular é
y_p(t) = \frac{5}{3} e^{4t}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-2t} + \frac{5}{3} e^{4t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-2t}+\frac{5}{3}e^{4t}

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